Skemptonの間隙水圧式

非排水条件で用いられる過剰間隙水圧$ \mathrm duと全応力$ \mathrm d\bm\sigmaの関係式の一つ

$ \mathrm du=B(\mathrm d\sigma_r+A\mathrm d(\sigma_a-\sigma_r))

$ p:=\frac13(\sigma_a+2\sigma_r),q:=\frac12(\sigma_a-\sigma_r)による表示

$ \mathrm du=B\mathrm dp+2B\left(A-\frac13\right)\mathrm dq

第2項がdilatancyに相当する

$ A=\frac13ならdilatancyが発生しないことがわかる

導出

$ \mathrm du=B\left(\frac13(3\mathrm dp-2\mathrm dq)+2A\mathrm dq\right)

$ =B\mathrm dp-\frac23B\mathrm dq+2BA\mathrm dq

$ = B\mathrm dp+2B\left(A-\frac13\right)\mathrm dq

$ \mathrm dqではなく$ |\mathrm dq|では？takker.icon

でないと観測者によって間隙水圧が増加/減少するか変わってしまう

2次元偏差応力ではなく$ q八面体剪断応力$ \tau_{oct}で表現した方がいいだろうか？

$ \mathrm du=B\mathrm dp+\frac3{\sqrt2}B\left(A-\frac13\right)\mathrm d\tau_{oct}

$ \tau_{oct}は絶対値を含んでいるので、こちらのほうが一般的なはず

原理というより、一種の変数変換にあたる

父と話したところによると、

$ uを$ \bm\sigmaの函数だとすると

$ \mathrm du=\bm A:\mathrm d\bm\sigma

(ほかの変数に依存する可能性もあるので$ \mathrm dではなく$ \deltaなどでごまかしたほうがいいのだが、いったん置いておく)

となる

$ \mathrm du=A_0\sigma_0+A_1\sigma_1+A_2\sigma_2(主軸表示)

で、軸対称応力条件$ \sigma_0=\sigma_a,\sigma_1=\sigma_2=\sigma_rのときこの係数$ \bm Aの具体的な形としてAlec W. Skemptonが提唱したのが、

$ A_0=BA

$ A_1+A_2=B(1-A)

である

係数の決定

等方弾性体のHookeの法則と有効応力規準から$ \bm\sigma'を消去することでも求められる

計算メモ

$ \sigma_1-\frac13(\sigma_1+2\sigma_3)=\frac23(\sigma_1-\sigma_3)=\frac43q

$ \sigma_3-\frac13(\sigma_1+2\sigma_3)=-\frac13(\sigma_1-\sigma_3)=-\frac23q