Q=Av=Const.形の連続の式の導出
条件
非圧縮性流れ$ \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t}=0\tag{1} 任意の流管を、流管に垂直な断面$ I,IIで切断した領域$ Vを検査領域とする 側面からの出入りがないので$ \int_{\partial V}\rho\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}=\int_{I}\rho\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}+\int_{II}\rho\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}\tag{2}となる
導出
連続の式の積分形と(1)より
$ \rho\pmb{\nabla}\cdot\pmb{u}=0
$ \implies\rho\int_V\pmb{\nabla}\cdot\pmb{u}\mathrm{d}V=0
$ \iff\rho\int_{\partial V}\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}=0
$ \iff\rho\int_{I}\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}+\rho\int_{II}\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}=0
$ \because (2)
$ \iff\int_{I}\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}+\int_{II}\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}=0\tag{3}
ここから定義を加えて$ Auの形に変形する
$ Vの流線の向きをIからIIの方向にとる
断面I,IIの面積をそれぞれ$ A_I,A_{II}とする
$ A_I=\left|\int_I\mathrm{d}\pmb{S}\right|
$ A_I=\left|\int_{II}\mathrm{d}\pmb{S}\right|
断面I,IIにおける流線方向の断面平均流速$ u_I,u_{II}は↓となる $ u_I=\frac{1}{A_I}\int_I\pmb{u}\cdot(-\mathrm{d}\pmb{S})
断面Iの微小面素の法線ベクトルは$ Vの内部から外部への向き(=流線の逆向き)になるので、-をつけて流線方向の向きに直している
$ u_{II}=\frac{1}{A_I}\int_I\pmb{u}\cdot\mathrm{d}\pmb{S}
以上の記号で(3)を書き換える
$ (3)\iff A_I(-u_I)+A_{II}u_{II}=0
$ \iff A_Iu_I=A_{II}u_{II}
$ I,IIは流管中の任意の断面なので、結局流管中で$ Au=\rm Const.が示されたことになる