Navier-Stokes方程式からReynolds平均Navier-Stokes方程式を導出する

pmb => bm

$ \rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}=\bm F-\bm\nabla P+\mu\bm\nabla^2\bm v

$ \implies\rho\frac{\partial\bm v}{\partial t}+\rho\bm\nabla\cdot(\bm v\bm v)=\bm F-\bm\nabla P+\mu\bm\nabla^2\bm v

$ \because$ \rho=\rm const.

$ \implies\rho\overline{\frac{\partial\bm v}{\partial t}}+\rho\overline{\bm\nabla\cdot(\bm v\bm v)}=\overline{\bm F}-\overline{\bm\nabla P}+\mu\overline{\bm\nabla^2\bm v}

$ \because$ \rho,\mu=\rm const.

$ \iff\rho\frac{\partial\overline{\bm v}}{\partial t}+\rho\bm\nabla\cdot(\overline{\overline{\bm v}\ \overline{\bm v}}+\overline{\overline{\bm v}\bm v'}+\overline{\bm v'\overline{\bm v}}+\overline{\bm v'\bm v'})=\overline{\bm F}-\bm\nabla \overline{P}+\mu\bm\nabla^2\overline{\bm v}

$ \iff\rho\frac{\partial\overline{\bm v}}{\partial t}+\rho\bm\nabla\cdot(\overline{\bm v}\overline{\bm v}+\bm 0+\bm 0+\overline{\bm v'\bm v'})=\overline{\bm F}-\bm\nabla \overline{P}+\mu\bm\nabla^2\overline{\bm v}

$ \iff\rho\frac{\partial\overline{\bm v}}{\partial t}+\rho\bm\nabla\cdot(\overline{\bm v}\overline{\bm v})=\overline{\bm F}-\bm\nabla \overline{P}+\mu\bm\nabla^2\overline{\bm v}-\rho\bm\nabla\cdot\overline{\bm v'\bm v'}

$ \iff\rho\frac{\mathrm{D}\overline{\bm v}}{\mathrm{D}t}=\overline{\bm{F}}-\bm{\nabla}\overline{P}+\mu\bm\nabla^2\overline{\bm{v}}-\rho\bm{\nabla}\cdot\overline{\bm{v}'\bm{v}'}

https://kakeru.app/fde885ef76c7945c3a3de153867e080f https://i.kakeru.app/fde885ef76c7945c3a3de153867e080f.svg

$ \rho\frac{\mathrm{D}\overline{v}}{\mathrm{D}t}=\rho\overline{\bm{f}}-\bm{\nabla}\overline{P}+\mu\Delta\overline{\bm{v}}-\rho\bm{\nabla}\cdot\overline{\bm{v}'\bm{v}'}

使用したReynolds平均$ \overline{\bullet}の性質

$ \frac{\partial c}{\partial t}=0\implies\overline{c}=c

$ \overline{\theta'}=0

$ \overline{\overline{\alpha}\theta+\overline{\beta}\phi}=\overline{\alpha}\overline{\theta}+\overline{\beta}\overline{\phi}

ただの加重平均(時間平均)なので、線型性が成り立つ

https://mtkbirdman.com/rans-ensemble-average-vs-time-average

$ -\rho\overline{\bm{v}'\bm{v}'}をReynolds応力と呼ぶ

Reynolds応力の成分を密度で割ったものは、$ \bm{v}'の成分の分散共分散行列になる

これ$ \rho=\rm Const.でないと成り立たないけど、いいのだろうか？takker.icon

やっぱだめっぽい

$ \rho=\bar{\rho}+\rho'まで仮定すればいけるっぽい？

まあそのうちやるか。今はやりたくない……