MaA-2025F-8.@2025-06-09T13:00D90

2000年代

$ u_n=-a_iu_{n-i}

$ a_\bulletをAR係数と呼ぶ

過去の$ uの線型和で表される形式の回帰モデル

この式を特にAR方程式ともいう

減衰振動なら$ aは2個で済む

連続体なら、十分多いの$ aを用意すればいい

$ u_n=-a_iu_{n-i}+b_if_{n-i}

未知の外乱項$ fが作用しているAR model

$ fは確率過程として扱う

確率過程モデルと関連ある？takker.icon

$ u_n=-a_iu_{n-i}+b_if_{n-i}

既知の外乱項$ fが作用している時の呼び名

推定誤差に最小二乗法を適用して、AR係数$ a_\bulletを求める

最終的にYule-Walker方程式が求まる

$ u_n = \hat{u}_n + e_n

$ u_n：観測値

$ \hat u_n：AR modelを使った推定値

$ \hat{u}_n = -a_i u_{n-i}

$ e_n=u_n-\hat{u}_n=a_iu_{n-i}

$ a_0:=1とした

$ J:=\frac1N\sum_{0\le i<N}{e_i}^2を最小化する$ a_\bulletを求める

$ \frac{\partial J}{\partial a_k}=\frac 2N\sum_{0\le i<N}e_iu_{i-k}

$ =\frac 2N\sum_{0\le i<N}\sum_{0\le j<M}a_ju_{i-j}u_{i-k}

$ =2\sum_{0\le j<M}a_jR_{jk}

$ R_{jk}:=\frac1N \sum_{0\le i<N}u_{i-j} u_{i-k}

定義から$ R_{jk}=R_{kj}

$ j=0の列を$ -\bm r、$ 0<j<Mの部分行列を$ \bm R、$ 0<j<Mの$ a_\bulletを$ \bm aとすると

$ \bm R\cdot\bm a=a_0\bm r

$ =\bm r

$ \therefore\bm R\cdot\bm a=\bm r