Legendre変換

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$ (x,y)\mapsto\phi

$ \mathrm d\phi=\frac{\partial\phi}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial\phi}{\partial y}\mathrm dy

$ (u,v)\xmapsto{f_x}x

$ (u,v)\xmapsto{f_y}y

$ \left.\frac{\partial\phi}{\partial x}\right|_{(x,y)=(f_x(u,v)),f_y(u,v))}=u

$ \left.\frac{\partial\phi}{\partial y}\right|_{(x,y)=(f_x(u,v)),f_y(u,v))}=v

$ \mathrm d\phi(f_x(u,v)),f_y(u,v))=u\mathrm df_x+v\mathrm df_y

$ \tilde\phi:(u,v)\mapsto f_xu+f_yv-\phi(f_x,f_y)+C\quad\text{.for }\exist C\in\R

$ \mathrm d\tilde\phi=f_x\mathrm du+f_y\mathrm dv

$ \bar\phi:(x,y)\mapsto x\frac{\partial\phi}{\partial x}+y\frac{\partial\phi}{\partial y}-\phi+C

$ \mathrm d\bar\phi=x\mathrm d\frac{\partial\phi}{\partial x}+y\mathrm d\frac{\partial\phi}{\partial y}