Jouleの第二法則
$ \mathrm dU=\frac{\partial U}{\partial T}\mathrm dT
定積比熱$ C_V:=\frac1n\frac{\partial U}{\partial T}より$ \mathrm dU=nC_V\mathrm d Tとも書ける 導出
可逆過程$ \mathrm dQ=T\mathrm dSを仮定する 以下、$ U,S,pは全て$ T,Vの函数だとする
$ \mathrm dU=T\mathrm dS-p\mathrm dV
$ \implies \frac{\partial U}{\partial V}=T\frac{\partial S}{\partial V}-p
$ =T\frac{\partial p}{\partial T}-p
=$ T^2\frac{\partial\frac pT}{\partial T}
もし理想気体なら、理想気体の状態⽅程式$ \frac pT=\frac{nR}{V}=f(V)となり$ \frac pTが$ Tに依存しなくなるから、 $ \frac{\partial U}{\partial V}=0
よって理想気体では内部エネルギーが温度のみの函数となる