Jordanの補題
任意の急減少函数$ F:\Complex\to\Complex($ F(\omega)\to0\quad(|\omega|\to\infty))にて、以下が成立する $ \forall t>0;\int_{M_+(R)}F(\omega)e^{i\omega t}\mathrm d\omega\to0\quad(R\to\infty)
なお、$ M_+(R)は半径$ Rの円周の上半分($ \Im\omega\ge0)を表す
$ M_+(R):=\{\omega\in\Complex|\exist\theta\in[0,\pi];\omega=Re^{i\theta}\}
$ F(\omega)e^{i\omega t}\mathrm d\omegaはFourier逆変換に似ているが、積分範囲が限定されているのが違い 証明
$ J(R)=:\int_{M_+(R)}F(\omega)e^{i\omega t}\mathrm d\omega
$ = iR\int_0^\pi F(Re^{i\theta})e^{itRe^{i\theta}}\mathrm d\theta
置換積分しただけ
このあと、三角不等式$ \left|\int_Cf(t)\mathrm dt\right|\le\int_C|f(t)||\mathrm dt|を使って求める $ |J(R)|\le R\int_0^\pi|F(Re^{i\theta})||e^{itRe^{i\theta}}|\mathrm d\theta
$ R\ge0,\mathrm d\theta\ge0なので、絶対値を外してある
$ \le R\sup F[M_+(R)]\int_0^\pi|e^{itR\cos\theta}||e^{-tR\sin\theta}|\mathrm d\theta
ここで$ F(\omega)\to0\quad(|\omega|\to\infty)を使ったのだろうか？
理屈がわからん
$ =R\sup F[M_+(R)]\int_0^\pi|e^{-tR\sin\theta}|\mathrm d\theta
$ \because |e^{itR\cos\theta}|=1
$ =R\sup F[M_+(R)]\int_0^\pi e^{-tR\sin\theta}\mathrm d\theta
実数指数函数は常に正だから、絶対値を外した
$ =2R\sup F[M_+(R)]\int_0^{\frac12\pi} e^{-tR\sin\theta}\mathrm d\theta
$ \le2R\sup F[M_+(R)]\int_0^{\frac12\pi} e^{-tR\frac2\pi\theta}\mathrm d\theta
$ \forall\theta\in\left[0,\frac12\pi\right];\sin\theta\ge\frac2\pi\theta を使う
https://gyazo.com/cc52f18bd314b5e095b1abcf1e20530b
$ =-\frac\pi t\sup F[M_+(R)]\int_{-tR\frac2\pi\theta=0}^{-tR\frac2\pi\theta=-tR} e^{-tR\frac2\pi\theta}\mathrm d\left(-tR\frac2\pi\theta\right)
積分を実行していく
$ =-\frac\pi t\sup F[M_+(R)]\int_{0}^{-tR} e^x\mathrm dx
$ =-\frac\pi t\sup F[M_+(R)](e^{-R}-1)
$ =\frac\pi t\sup F[M_+(R)](1-e^{-R})
$ \to0\quad(R\to\infty)
$ \underline{\therefore \forall t>0;\int_{M_+(R)}F(\omega)e^{i\omega t}\mathrm d\omega\to0\quad(R\to\infty)\quad}_\blacksquare