Hilbert変換

$ u:\R\to\Rの変換作用素

$ \mathcal H(u):\R\ni t\mapsto\int_\R\frac{u(\tau)}{\pi(t-\tau)}\mathrm d\tau

ただし、Cauchyの主値をとる

性質

$ \mathcal H(\delta):t\mapsto\frac{t}{\pi t}

これより$ \mathcal H(u)=\mathcal H(\delta)* uとかける

$ \mathcal H^{-1}=-\mathcal H

$ \mathcal F\circ\mathcal H(u):\omega\mapsto-i\operatorname{sgn}\omega\mathcal F(u)

$ \mathcal F：Fourier変換

F(f')(ω)=iωF(f)(ω)より$ \omega\neq0のとき$ \mathcal F\circ\mathcal H(u)(\omega)=-\frac{\mathcal F(u')(\omega)}{|\omega|}とかける

References