3次元直交行列
$ A:=\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}とする
$ AA^\top=Iより$ {a_{00}}^2+{a_{10}}^2+{a_{20}}^2=1だから、球面の媒介変数表示を使える $ \exist\theta,\phi\in\R;
$ \begin{dcases}a_{00}=\sin\theta\cos\phi\\a_{10}=\sin\theta\sin\phi\\a_{20}=\cos\theta\end{dcases}
次に、$ \pmb a_\bullet:=(a_{0\bullet},a_{1\bullet},a_{2\bullet})^\topとすると、
$ \pmb a_0\cdot\pmb a_1=\pmb a_0\cdot\pmb a_2=0
だから、$ \pmb a_1,\pmb a_2が$ \pmb a_0を法線とする面と並行である事がわかる
$ |\pmb a_\bullet|=1とも合わせると、$ \pmb a_0で張られる面内の任意点における単位円での半径線と$ \pmb a_1,\pmb a_2が一致する事がわかる
これより
$ \begin{pmatrix}a_{00}-1&a_{01}&a_{02}\\a_{10}&a_{11}-1&a_{12}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}n_0\\n_1\\n_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
が成り立つ
$ \begin{pmatrix}n_0^2(1-\cos\theta)+\cos\theta&n_0n_1(1-\cos\theta)-n_2\sin\theta&n_0n_2(1-\cos\theta)+n_1\sin\theta\\n_0n_1(1-\cos\theta)+n_2\sin\theta&n_1^2(1-\cos\theta)+\cos\theta&n_1n_2(1-\cos\theta)-n_0\sin\theta\\n_0n_2(1-\cos\theta)-n_1\sin\theta&n_1n_2(1-\cos\theta)+n_0\sin\theta&n_2^2(1-\cos\theta)+\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}&a_{02}\\a_{10}&a_{11}&a_{12}\\a_{20}&a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}
$ \begin{pmatrix}n_0\\n_1\\n_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin\phi\cos\varphi\\\sin\phi\sin\varphi\\\cos\phi\end{pmatrix}
とすれば、これをもとに直交する2つの単位vectorを作れる
$ \begin{pmatrix}m_0\\m_1\\m_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{n_1}{\sin\phi}\\\frac{n_0}{\sin\phi}\\0\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt{1-n_2^2}}\begin{pmatrix}-n_1\\n_0\\0\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt{n_0^2+n_1^2}}\begin{pmatrix}-n_1\\n_0\\0\end{pmatrix}
$ \begin{pmatrix}l_0\\l_1\\l_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\cos\phi\cos\varphi\\-\cos\phi\sin\varphi\\\sin\phi\end{pmatrix}=-\frac{\cos\phi}{\sin\phi}\begin{pmatrix}n_0\\n_1\\-\frac{1-n_2^2}{n_2}\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{n_0^2+n_1^2}}\begin{pmatrix}-n_2n_0\\-n_1n_2\\n_0^2+n_1^2\end{pmatrix}
んで