2塑性域による全体破壊での支持力式

2つの三角形状の塑性域による全体破壊モデルで導出した支持力式

$ \frac QB=\frac12\gamma_t B\overline{N}_\gamma+c\overline{N}_c+q_s\overline{N}_q

名前はtakker.iconが適当に名付けた

$ \overline N_\bulletは支持力係数と呼ばれる

$ \overline{N}_\gamma:=\frac12\left({K_p}^\frac52-{K_p}^\frac12\right)

$ \overline{N}_c:=2\left({K_p}^\frac32+{K_p}^\frac12\right)

$ \overline{N}_q:={K_p}^2

$ K_p=\frac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi}であるから,支持力係数は内部摩擦角$ \phiのみの関数となっている.

導出

次のように、載荷領域とsurcharge (soil)領域との境界で、きれいに主働土圧状態(オレンジ色)と受働土圧状態(緑色)とが分かれていると仮定してモデル化する

このモデルの適用範囲は？takker.icon

https://kakeru.app/bae9d3ec63c7dc2a88239ec5266b0c34 https://i.kakeru.app/bae9d3ec63c7dc2a88239ec5266b0c34.svg

全体破壊時の極限支持力$ p_c=\frac QBを求める

2つの塑性領域の境界で力の釣合を立てる

https://kakeru.app/3fcf1ef341c228dda4f1d0964ac0374f https://i.kakeru.app/3fcf1ef341c228dda4f1d0964ac0374f.svg

主働土圧側：平均応力

$ \sigma_{zza}=p_c+\frac12\gamma_tH

第2項は、静水圧分布を平均化したもの

平均化しなくても結果は同じ

$ \sigma_{xxa}=K_a\sigma_{zza}-2c\sqrt{K_a}

受働土圧側：平均応力

$ \sigma_{zzp}=q_s+\frac12\gamma_tH

第2項は、静水圧分布を平均化している

$ \sigma_{xxp}={K_a}^{-1}\sigma_{zzp}+2c\sqrt{{K_a}^{-1}}

力の釣り合い

$ P_c=\int_0^H\sigma_{xxa}\mathrm{d}z=\int_0^H\sigma_{xxp}\mathrm{d}zー①

①を解いて極限支持力を求める

$ \implies K_a\left(p_c+\frac12\gamma_tH\right)-2c\sqrt{K_a}={K_a}^{-1}\left(q_s+\frac12\gamma_tH\right)+2c\sqrt{{K_a}^{-1}}

$ \iff p_c+\frac12\gamma_tH-2c{K_a}^{-\frac12}={K_a}^{-2}\left(q_s+\frac12\gamma_tH\right)+2c{K_a}^{-\frac32}

$ \iff p_c=-\frac12\gamma_tH+{K_a}^{-2}\left(q_s+\frac12\gamma_tH\right)+2c{K_a}^{-\frac32}+2c\sqrt{{K_a}^{-1}}

$ = \frac12\gamma_tH({K_a}^{-2}-1)+2c\left({K_a}^{-\frac12}+{K_a}^{-\frac32}\right)+q_s{K_a}^{-2}

$ = \frac12\gamma_tB\frac12({K_a}^{-\frac52}-{K_a}^{-\frac12})+2c\left({K_a}^{-\frac12}+{K_a}^{-\frac32}\right)+q_s{K_a}^{-2}

$ \because H=\frac12B\tan\left(\frac14\pi+\frac12\phi\right)=\frac12B\sqrt{{K_a}^{-1}}使った

$ = \frac12\gamma_tB\frac12({K_p}^{\frac52}-{K_p}^{\frac12})+2c\left({K_p}^{\frac12}+{K_p}^{\frac32}\right)+q_s{K_p}^{2}

$ \because {K_a}^{-1}=K_p

$ \underline{=\frac12\gamma_t B\overline{N}_\gamma+c\overline{N}_c+q_s\overline{N}_q\quad}_\blacksquare

Terzaghiの支持力式と同形の式が現れる