測度空間上の積分の各種法則
$ S^+(X)を$ X上の非負単函数全体の集合とする $ \forall f\in S^+(X):\int_X f\mathrm d\mu:=\sum_{1\le k\le N} a_k\mu(A_k)
ただし、$ f(x)=\sum_{1\le k\le N}a_k\llbracket x\in A_k\rrbracketとした
$ \forall f\in M^+(X,\overline\R):\int_Xf\mathrm d\mu:=\sup\Set{I|\exist s\in S^+(X):I=\int_X s\mathrm d\mu\land\forall x\in X:0\le s(x)\le f(x)}
$ M^+(X,\overline\R)：非負可測写像$ f:X\to\overline\R全体の集合
$ f^+:=\max\{f,0\},f^-:=\min\{-f,0\}として、$ \int_Xf\mathrm d\mu:=\int_X f^+\mathrm d\mu-\int_X f^-\mathrm d\muとすればいい