流線と流跡線と流脈線の違い
曲線上の任意の位置$ \pmb{x}での接ベクトルが速度場(流速の空間表示)$ \pmb{u}(\pmb{x})と等しくなるように引いた曲線 定式化
流速の空間表示を$ \pmb{v}とすると、$ \pmb{v}(\pmb{\psi}(s,t),t)//\frac{\partial\pmb{\psi}}{\partial s}を満たす函数$ (s,t)\mapsto \pmb{\psi}(s,t)が流線となる
$ tは時間
定常流れの場合は$ \frac{\partial\pmb{\psi}}{\partial t}=0
パラメタ曲線$ t\mapsto\pmb{\phi}(\pmb{X},t)に相当する
定常流れなら流線と一致する
証明は後ほどtakker.icon
$ \frac{\partial\pmb{v}}{\partial t}=0
$ \iff\frac{\partial}{\partial t}\left(\left.\frac{\partial\pmb{\phi}}{\partial t}\right|_{\pmb{X}=\pmb{\phi}^{-1}}\right)=0
$ \iff \left.(\pmb{\nabla}\otimes\pmb{\phi})^\top\right|_{\pmb{X}=\pmb{\phi}^{-1}}\frac{\partial\pmb{\phi}^{-1}}{\partial t}+\left.\frac{\partial^2\pmb{\phi}}{{\partial t}^2}\right|_{\pmb{X}=\pmb{\phi}^{-1}}=0
$ \pmb{v}(\pmb{\phi}(\pmb{X},t),t)=\frac{\partial\pmb{\phi}}{\partial t}
$ \implies \pmb{v}(\pmb{\phi}(\pmb{X},t),t)//\frac{\partial\pmb{\phi}}{\partial t}
ある一点$ \pmb{x}_0を通過した全ての物質点$ \pmb{X}_0,\pmb{X}_1,\cdots,\pmb{X}_nのある時刻$ tにおける位置$ \pmb{\phi}(\pmb{X}_i,t)を結んだ作った曲線
定常流れなら流線と一致する
References