材料力学を楽しむ会 2021年度第6回
$ \pmb\varepsilon=\varepsilon_{xx}\pmb e_x\pmb e_x
これを$ \pmb\varepsilon=\frac12(\pmb\nabla\pmb u+(\pmb\nabla\pmb u)^\top)に代入する
$ \frac{\partial u_x}{\partial x}=\varepsilon_{xx}ー①
$ \frac{\partial u_y}{\partial y}=\frac{\partial u_z}{\partial z}=0ー②
$ \frac{\partial u_x}{\partial y}=-\frac{\partial u_y}{\partial x}ー③
$ \frac{\partial u_y}{\partial z}=-\frac{\partial u_z}{\partial y}ー④
$ \frac{\partial u_z}{\partial x}=-\frac{\partial u_x}{\partial z}ー⑤
$ \pmb\nabla\times\pmb u=\left(\frac{\partial u_z}{\partial y}-\frac{\partial u_y}{\partial z}\right)\pmb e_x+\left(\frac{\partial u_x}{\partial z}-\frac{\partial u_z}{\partial x}\right)\pmb e_y+\left(\frac{\partial u_y}{\partial x}-\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)\pmb e_z
$ = 2\frac{\partial u_z}{\partial y}\pmb e_x+2\frac{\partial u_x}{\partial z}\pmb e_y+2\frac{\partial u_y}{\partial x}\pmb e_z
②より
$ u_y=u_y(z,x)
$ u_z=u_z(x,y)
④より
$ \frac{\partial^2u_y}{\partial y\partial z}=-\frac{\partial^2u_z}{{\partial y}^2}=0
$ \therefore\frac{\partial u_z}{\partial y}=-\theta(x)
$ \therefore\frac{\partial u_y}{\partial z}=\theta(x)
$ \therefore u_y=f(x)-z\theta(x)
$ \therefore u_z=g(x)+y\theta(x)
$ f(x),g(x)を求める
図心変位を$ \pmb U=u\pmb e_x+v\pmb e_y+w\pmb e_zとする
図心が断面で一定だとし、x軸を図心に通したとすると、
$ v=f(x)-0
$ w=g(x)-0
よって
$ \therefore u_y=v(x)-z\theta(x)ー⑥
$ \therefore u_z=w(x)+y\theta(x)ー⑦
③と⑥より
$ \frac{\partial u_x}{\partial y}=-v'(x)+z\theta'(x)
第1項による変形
https://kakeru.app/c1e80778e6e24e5668c07c7b99f692f8 https://i.kakeru.app/c1e80778e6e24e5668c07c7b99f692f8.svg
第2項による変形
https://kakeru.app/72987b291798c556cdf8e4f078322d83 https://i.kakeru.app/72987b291798c556cdf8e4f078322d83.svg
解釈がむずいのでパス
$ \frac{\partial \varepsilon_{xx}}{\partial y}=-v''(x)+z\theta''(x)
これ以上は簡単にならないか？
$ \frac{\partial u_x}{\partial z}=-w'(x)-y\theta'(x)
$ \frac{\partial \varepsilon_{xx}}{\partial z}=-w''(x)-y\theta''(x)
$ \frac{\partial^2 u_x}{\partial y\partial z}=-\theta'(x)
$ \frac{\partial^2 u_z}{\partial x\partial y}=\theta'(x)
$ \frac{\partial^2 u_y}{\partial z\partial x}=-\theta'(x)
$ \theta=\rm const.になるはず
よって①より
$ u_x=u(x)-v'(x)y-w'(x)z
$ u=u(x)-0-0なので、任意函数は図心となる
曲げと軸力だけ扱うならこれで十分
$ \varepsilon_{xy}=\varepsilon_{zx}=0を緩和し、ねじりによる剪断ひずみを許容すると、Saint-Venantのねじりの項が現れる(PDF参照) $ \mathrm d u_x=\frac{\partial u_x}{\partial x}\mathrm dx+\frac{\partial u_x}{\partial y}\mathrm dy+\frac{\partial u_x}{\partial z}\mathrm dz
$ =\varepsilon_{xx}\mathrm dx+\frac{\partial u_x}{\partial y}\mathrm dy+\frac{\partial u_x}{\partial z}\mathrm dz
どう拡張すればいいかがピンとこないtakker.icon
使えるもの
$ \therefore u_y=v(x)-z\theta(x)ー⑥
$ \therefore u_z=w(x)+y\theta(x)ー⑦
断面の平行移動成分$ v,wを曲げ変形による変位、回転成分$ -z\theta,y\thetaをねじり変形による変位とする
曲げによる剪断変形が発生しないと仮定する
$ 0=\varepsilon^{(b)}_{xy}=\frac12\left(\frac{\partial u_x^{(b)}}{\partial y}+v'(x)\right)
$ 0=\varepsilon^{(b)}_{zx}=\frac12\left(\frac{\partial u_x^{(b)}}{\partial z}+w'(x)\right)
$ \varepsilon_{xy}^{(t)}=\frac12\left(\frac{\partial u_x^{(t)}}{\partial y}-z\theta'(x)\right)
https://kakeru.app/03775dcd81d91426da787aca984fb112 https://i.kakeru.app/03775dcd81d91426da787aca984fb112.svg