三辺測量の調整計算
2通りの方法で辺長から計算した角度を拘束条件に用いる
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図のように$ \theta_0,\cdots,\theta_2をとる。またそれぞれの辺長の測定値を$ \bm{L} :=^t(L_{OA},L_{OB},L_{OC},L_{AB},L_{BC},L_{CA})、残差を$ \bm{\nu} :=^t(\nu_{OA},\nu_{OB},\nu_{OC},\nu_{AB},\nu_{BC},\nu_{CA})とする
求める残差は、
$ \bm{\nu} = -\frac{\omega}{\sum_i c_i^2}\bm{c}
となる。ここで、
$ \bm{c} := \begin{pmatrix}-\frac{-L_{OC}^2+L_{CA}^2+L_{OA}^2}{2L_{OC}L_{OA}^2\sin\theta_0}+\frac{L_{OA}^2+L_{AB}^2-L_{OB}^2}{2L_{OA}^2L_{OB}\sin\theta_1}\\\frac{-L_{OA}^2+L_{AB}^2+L_{OB}^2}{2L_{OA}L_{OB}^2\sin\theta_1}+\frac{L_{OB}^2+L_{BC}^2-L_{OC}^2}{2L_{OB}^2L_{OC}\sin\theta_2}\\\frac{-L_{OB}^2+L_{BC}^2-L_{OC}^2}{2L_{OB}L_{OC}^2\sin\theta_2}-\frac{L_{OC}^2+L_{CA}^2-L_{OA}^2}{2L_{OC}^2L_{OA}\sin\theta_0}\\-\frac{L_{AB}}{L_{OA}L_{OB}\sin\theta_1}\\-\frac{L_{BC}}{L_{OB}L_{OC}\sin\theta_2}\\\frac{L_{CA}}{L_{OC}L_{OA}\sin\theta_1}\end{pmatrix}
$ \omega := \cos^{-1}(\frac{L_{OC}^2+L_{OA}^2-L_{CA}^2}{2L_{OC}L_{OA}})-\cos^{-1}(\frac{L_{OA}^2+L_{OB}^2-L_{AB}^2}{2L_{OA}L_{OB}})-\cos^{-1}(\frac{L_{OB}^2+L_{OC}^2-L_{BC}^2}{2L_{OB}L_{OC}})
である
これは近似解である。より厳密な解を求めるために、$ \bm{L}+\bm{\nu}を新たな測定値とし、$ \bm{\nu}が十分小さくなるまで繰り返し計算する
導出過程
拘束条件が非線型なので、線型近似を施す