ヤコビ行列

Jacobian matrix、ヤコビアン

多変数のベクトル値関数が定義域上の点においてすべての変数に関して偏微分可能である場合、その点におけるそれぞれの成分関数のそれぞれの変数に関する偏微分係数を成分とする行列が存在します。これをヤコビ行列と呼びます。

つまりベクトル値関数

$ f=\left[\begin{array}{c} f_1 \\ f_2 \\ \vdots \\ f_n \end{array}\right]

$ \frac{\partial f}{\partial x_1}=\left[\begin{array}{c} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} \\ \frac{ \partial f_2}{\partial x_2} \\ \vdots \\ f_n\end{array}\right]

$ \frac{\partial \bm f}{\partial \bm x} = \left[\begin{array}{ccc} \frac{\partial f}{\partial x}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x}\\ \vdots & \ddots&\vdots\\ \frac{\partial f}{\partial x}&\cdots&\frac{\partial f}{\partial x}\\ \end{array}\right]

$ J_f(a), D {\bm f}(a), \frac{\partial \bm f}{\partial \bm x}

ヘッセ行列は任意の変数についての２階微分、ヤコビ行列は全ての変数についての１階微分

多変数ベクトル置換数の局所的な線形近似