トレースの性質

線形性

$ \mathrm{tr}(A+B) = \mathrm{tr} A + \mathrm{tr} B

$ \mathrm{tr}(k A) = k(\mathrm{tr} A)

自明

$ \mathrm{tr}(A^\top) =\mathrm{tr}(A)

行列の積に対する性質

$ A :n\times m, B : m\times nのとき、

$ \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)

相似変換に対する不変性

$ A : n\times n, Pを$ n次正則行列とすると、

$ \mathrm{tr} (P^{-1}AP) = \mathrm{tr}A

固有値との関係

$ A : n\times n、その固有値を$ \lambda_1, \lambda_2, \ldots \lambda_nとすると、

$ \mathrm{tr} A = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i