KKT条件

問題

$ \mathrm{min} ~ f({\bf x})

$ ~~ \mathrm{s. t.} ~ g_i({\bf x}) \leq 0, ~~ (i=1,\ldots , m)

$ ~~~~~~~~ h_j({\bf x}) = 0, ~~ (j=1,\ldots , l)

$ f, g_i, h_j:{\mathcal R}^n \rightarrow R

KKT条件

$ \begin{cases}\nabla f({\bf x}) + \sum \lambda \nabla g_i + \sum\mu h_j \nabla h_j =0 \\ h_j = 0\\ \lambda_i \geq 0, g_i \leq 0, \lambda_i g_i(x) = 0 \end{cases}