2025.6.2 Taylor 展開

１変数の場合

１変数スカラ値関数 $ f(x)は、$ \bar{x}近傍において次のように級数展開できる。

$ f({\bar x} + \Delta x) = f(\bar{x}) + f^{(1)}(\bar{x})\Delta x + \frac{1}{2} f^{(2)}(\bar{x})\Delta x^{2} + \cdots

$ = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(\bar{x}) \Delta x^n

ここで、$ \bar{x} は固定された任意の点、$ \Delta xは微小な変動量であり、$ \bar{x} + \Delta xは$ \bar{x}の近傍の任意の点を意味する。関数$ fの$ \bar{x}周りのテイラー展開などという。

Wikipedia の表記では、$ \bar{x} = aとおき、$ \bar{x} + \Delta x = a + \Delta x = xとすると、$ \Delta x = x - aであるので、

$ f(x) = f(a) + f^{(1)}(a)(x-a) + \frac{1}{2} f^{(2)}(a) (x-a)^{2} + \cdots

$ = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}f^{(n)}(a) (x - a)^n

となる。この場合は関数$ fの$ a周りのテイラー展開という。

多変数の場合

多変数・スカラ値関数$ f({\bf x}) は、点 $ \bar{\bf x} 近傍において次のように級数展開できる。

$ f(\bar{\bf{x}} + \Delta {\bf x}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} (\Delta {\bf x}^\top \cdot \nabla)^n f({\bar {\bf x})}

$ {\bf x} = (x_1, \ldots, x_n)^\top ...$ n次元ベクトル

$ {\bf \bar{x}} = (\bar{x}_1, \ldots, \bar{x}_n)^\top , \Delta {\bf x} = (\Delta x_1, \ldots, \Delta x_n)^\top

$ f (\bf{x}) ... $ n変数スカラ値関数

$ \nabla ... $ \frac{\partial}{\partial {\bf x}}= \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots , \frac{\partial}{\partial x_n}\right)^\top

$ \cdot ... 内積