2024.4.4 疑似逆行列【numpy】

非正方行列には疑似逆行列が定義される。

$ A : m x n

このとき、$ A^+ = (A^T A)^{-1}A^T を$ Aの疑似逆行列(ムーア・ペンローズの疑似逆行列、pseudo inverse matrix)とよぶ。

確認

$ \mathbf{x} : n-vector

$ \mathbf{b} : m-vector

とすると、

$ A \mathbf{x} = \mathbf{b}

に対して左から疑似逆行列を掛ける。

$ A^+ A \mathbf{x} = A^+ \mathbf{b}

$ (A^T A)^{-1}A^TA\mathbf{x} = A^+\mathbf{b}

$ \mathbf{x} = A^+ \mathbf{b}

となる。

code:pinv01.py

import numpy as np

from numpy.linalg import pinv, matrix_rank, inv, norm, cond

A = np.random.random(3, 5)

Apinv = pinv(A)

print('生成された行列のサイズ', Apinv.shape)

print('生成された行列のランク', matrix_rank(Apinv))

print('norm of A A+ A = A')

print(norm(A @ Apinv @ A - A))

print('norm of A+ A A+ = A+')

print(norm(Apinv @ A @ Apinv - Apinv))

print('norm of (A A+)* = A A+')

print(norm(np.conjugate(A @ Apinv).T - A @ Apinv))

print('norm of (A+ A)* = A+ A')

print(norm(np.conjugate(Apinv @ A).T - Apinv @ A))