双条件法

双条件法

「もし P ならば、かつそのときにかぎって Q である」

これは「 Q は P の必要十分条件である」と等しい

0) 「もし P ならば、かつそのときにかぎって Q である」を分解する

1) 「もし P ならば Q である」

条件式

P ⇒ Q

2) 「P のときにかぎって Q である」

???

1) と 2) の二つを「かつ」で繋いだもの

連言

「もし P ならば Q である」かつ「P のときにかぎって Q である」

では、2) 「P のときにかぎって Q である」はどういう意味か？

「 P ではない」場合を考える

「 P ではない」とすれば「 Q ではない」が帰結する

なぜならば、 Q であるのは P のときにかぎるから

「もし P ではないならば Q ではない」

「もし P ではないならば Q ではない」が成り立っており、「 Q である」ことが言えるならば、それが言えるのは「 P のときにかぎる」はずである

なぜならば、 それ以外の場合( P ではない場合)には、「 Q ではない」が帰結するから

ここにおいて「P のときにかぎって Q である」は「もし P ではないならば Q ではない」と等しい

「もし P ではないならば Q ではない」

¬P ⇒ ¬Q

対偶をとる

Q ⇒ P

「もし Q ならば P である」

ここにおいて「P のときにかぎって Q である」は「もし Q ならば P である」と置きかえられる

つまり「もし P ならば、かつそのときにかぎって Q である」は以下のとおりに置きかえられる

「もし P ならば Q である」かつ「もし Q ならば P である」

( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P)

これを双条件という

結合子 ⇔ (同値) を用いる

P ⇔ Q

双条件法

定義

P ⇔ Q = ( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P)

補助規則： Def

定義の右辺(または左辺)が証明されたら、次の行で定義の左辺(または右辺)にある式を導入してよい

例： P, P⇔Q ⊢ Q

1 (1) P 前提

2 (2) P⇔Q 前提

2 (3) (P⇒Q)∧(Q⇒P) 2.Def-⇔

2 (4) P⇒Q 3.∧-除去

1,2 (5) Q 1,4.⇒-除去