電磁場のディラック方程式
このページはワイル表現を使ってますが,のちにディラック表現だともっと簡単になることが判明したので,電磁場のディラック方程式 (ver 2)を書きました。記録としてこのページも残しておきますが,情報源としては新ページをご覧ください。(2019/5/9)電磁場のディラック方程式 (ver 2) 実は細かい計算にバグがあります。 いまわかっているのは一番下の j の定義が 4 × 4 行列のK から計算したのとあわない。 ほかにもあると思います。 ただいまデバッグ中ですが,気がついたら教えてください。
このページについて,twitter でいただいたコメントをモーメントにまとめました。(2019/4/11) 時空代数とマックスウェル方程式
時空代数とはミンコフスキー空間の 4 方向をクリフォード代数の要素に対応させたもの。くわしくは wikipedia 参照(英語)。 ここで各方向成分$ \gamma_\mu は$ \gamma_{\mu} \gamma_{\nu}+\gamma_{\nu} \gamma_{\mu}=2 \eta_{\mu \nu} ($ \mu, \nu=(t,x,y,z))という代数をみたす。行列で書くとディラック行列で表現されるが,必ずしも行列でなくてもよい。
マックスウェル方程式のクリフォード代数による表現は七誌さんの解説がわかりやすい(七誌さんのサイトには他にもいろいろ解説があるので,芋づる式にたどるとよい)。 以下では,時空代数の要素を行列で表現してみる。具体的には以下のワイル表現を使うが,ほかの表現でも同じと思われる。
$ \gamma^{0}=\left( \begin{array}{cc}{0} & {I} \\ {I} & {0}\end{array}\right), \gamma^{j}=\left( \begin{array}{cc}{0} & {\sigma_{j}} \\ {-\sigma_{j}} & {0}\end{array}\right)
$ ~ ただし$ I は 2 × 2の単位行列,$ \sigma_j はパウリ行列。
ここで,これらの行列が 4 × 4 であることと時空の次元が 4 であることは,意味が違うのに注意。 4 × 4 の行列が時空の次元の数だけあり,それがたまたま行列のサイズと同じ 4 であるということである。
ディラック作用素$ D= \gamma^\mu \partial_\muは以下のようになる。
$ D= \left(\begin{array}{cccc}0&0&{\partial_t}-{\partial_z}&i\,{\partial_y}-{\partial_x}\cr 0&0&-i\,{\partial_y}-{\partial_x}&{\partial_z}+{\partial_t}\cr {\partial_z}+{\partial_t}&{\partial_x}-i\,{\partial_y}&0&0\cr i\,{\partial_y}+{\partial_x}&{\partial_t}-{\partial_z}&0&0\cr \end{array}\right)
ここで,ファラデーテンソルを$ F_{\mu\nu} として,電磁場を$ F = \gamma^\mu \gamma^\nu F_{\mu\nu} と書くと,電磁場も 4 × 4 の行列で表される。具体的には
$ F= \left(\begin{array}{cccc}-{E_z}-i{B_z}&i{E_y}-{E_x}-{B_y}-i{B_x}&0&0\cr -i{E_y}-{E_x}+{B_y}-i{B_x}&{E_z}+i{B_z}&0&0\cr 0&0&{E_z}-i{B_z}&-i{E_y}+{E_x}-{B_y}-i{B_x}\cr 0&0&i{E_y}+{E_x}+{B_y}-i{B_x}&i{B_z}-{E_z}\cr \end{array}\right)
同様に電流$ J= J_\mu\gamma^\mu は
$ J= \left(\begin{array}{cccc}0&0&{\rho}-J_Z&-{J_x}+ i {J_y}\cr 0&0&-{J_x}- i {J_y}&\rho + J_Z \cr \rho+J_z &J_x - iJ_y&0&0\cr J_x+iJ_y&\rho-{J_z}&0&0\cr \end{array}\right)
これらの行列表示を計算すると$ DF - J=0からマックスウェル方程式が導かれるはずである。
ここまでは$ \gamma^\mu が 4 × 4 行列で書けるのならば,自明のことであろう(中嶋さんのコメントにより追加)。 電磁場のディラック方程式
時空代数での物理量は$ \gamma^\mu とその積を使って表されるので,上でやっているようにこれを行列表現すると,必然的に 4 × 4 の 16 成分を持つことになる。さらに,各成分は複素数なので,実数で勘定すると 32 の自由度を持つ。
しかし,電磁場は電場 3 プラス磁場 3 の 6 成分,電流は 4 成分であり,マックスウェル方程式も 8 本なので,もっと小さな行列でも表すことができるだろう。
4 × 1 の複素行列は 8 つの自由度をもつので,これで十分書けるはずである。
いま, 4 × 1 の以下の形の行列を考える。
$ L = \left(\begin{array}{c}c_1\cr c_2\cr c_3\cr c_4\end{array}\right)
この 4 成分は直接には幾何学的意味をもたないので,ベクトルという言葉は避けて 4 × 1 行列と呼ぼう。添字も 0, …, 3 ではなく,1, …, 4 にする。変数の場合は$ n や$ m などを使う。
上でみたマックスウェル方程式の時空代数表現$ DF-J=0 は行列で書くと 4 × 4 であった。この関係が成立するのならば,それに,上の 4 × 1 行列$ L をかけた
$ (DF-J)\cdot L=0
$ ~ も成立するはずである。ただし「$ \cdot 」はクリフォード積や内積などの幾何学的な積ではなく 4 × 4 行列と 4 × 1 行列の積である。
つまり,行列$ A の各成分を$ [A]_{mn} と書くと
$ [(DF-J)\cdot L]_m = \sum_{n=1}^4[DF-J]_{mn} [L]_n
この式は 4 × 1 の複素行列であるが,この 8 つの自由度がすべて線形独立であれば,これはマックスウェル方程式と等価になるはずである。
たとえば$ L として,
$ L = \frac{1}{4}\left(\begin{array}{c}1\cr 1\cr 1\cr 1\end{array}\right)
$ \ を選ぶと$ DF の実部は
$ \left(\begin{array}{c}-{\partial_z}{E_z}+{\partial_x}{E_z}+{\partial_t}{E_z}-{\partial_y}{E_y}-{\partial_z}{E_x}-{\partial_x}{E_x}+{\partial_t}{E_x}+{\partial_z}{B_y}-{\partial_y}{B_z}+{\partial_y}{B_x}-{\partial_x}{B_y}-{\partial_t}{B_y}\cr -{\partial_z}{E_z}-{\partial_x}{E_z}-{\partial_t}{E_z}-{\partial_y}{E_y}+{\partial_z}{E_x}-{\partial_x}{E_x}+{\partial_t}{E_x}+{\partial_z}{B_y}-{\partial_y}{B_z}-{\partial_y}{B_x}+{\partial_x}{B_y}+{\partial_t}{B_y}\cr -{\partial_z}{E_z}+{\partial_x}{E_z}-{\partial_t}{E_z}-{\partial_y}{E_y}-{\partial_z}{E_x}-{\partial_x}{E_x}-{\partial_t}{E_x}-{\partial_z}{B_y}+{\partial_y}{B_z}-{\partial_y}{B_x}+{\partial_x}B_y-{\partial_t}{B_y}\cr -{\partial_z}{E_z}-{\partial_x}{E_z}+{\partial_t}{E_z}-{\partial_y}{E_y}+{\partial_z}{E_x}-{\partial_x}{E_x}-{\partial_t}{E_x}-{\partial_z}{B_y}+{\partial_y}{B_z}+{\partial_y}{B_x}-{\partial_x}{B_y}+{\partial_t}{B_y}\cr \end{array}\right)
$ \ となる。
これはかなり煩雑な式だが,適当に各成分の線型結合をとると,マックスウェル方程式中の電磁場の部分に還元する。たとえば,この 4 成分をすべて足してやると,
$ \partial_x E_x +\partial_y E_y +\partial_z E_z
$ \ となり,$ \nabla \mathbf{E} と同じになることがわかる。虚部についても同様のことが言える。
ということは,適当な 4 × 4 行列$ K を用意して$ K\cdot(DF-J)\cdot L の各成分がマックスウェル方程式と同じになるようにすればよい。このような$ K を探すと
$ K= \left(\begin{array}{cccc}1&1&1&1\cr 1&-1&1&-1 \cr 1&1&-1&-1 \cr 1&-1&-1&1\cr \end{array}\right)
これにより
$ {\rm Re}( K\cdot(DF-J)\cdot L)=\left(\begin{array}{cccc}-{ \partial_z}{ E_z}-{ \partial_y}{ E_y}-{ \partial_x}{ E_x}-\rho\cr { \partial_x}{ E_z}-{ \partial_z}{ E_x}-{ \partial_t}B_y-0\cr { \partial_t}{ E_x}+{ \partial_z}B_y-{\partial_y}B_z-J_x \cr { \partial_t}{ E_z}+{ \partial_y}B_x-{ \partial_x}B_y-J_z\cr \end{array}\right)=0
$ {\rm Im}( K\cdot(DF-J)\cdot L)= \left(\begin{array}{cccc}-{\partial_y}{E_z}+{\partial_z}{E_y}-{\it \partial_t} {B_x}\cr -{\partial_x}{E_y}+{\partial_y}{E_x}-{\partial_t}{Bz}\cr {\partial_z}{B_z}+{\partial_y}{B_y}+{\partial_x}{B_x}\cr - { \partial_t}{E_y}+{\partial_z}{Bz}-{\partial_x}{Bx}-J_y\cr \end{array}\right) =0
となり,マックスウェル方程式の各成分が再現されているのがわかる。
結論
以上より,ワイル表現の 4 × 4 行列$ \gamma^\mu に対して
$ \varphi = \left(\begin{array}{c}\varphi_1\cr \varphi_2\cr \varphi_3\cr \varphi_4\end{array}\right)=\frac{1}{4} \left(\begin{array}{c}-E_x+iE_y-E_z -iB_x-B_y-iB_z\cr -E_x-iE_y+E_z -iB_x+B_y+iB_z\cr E_x-iE_y+E_z -iB_x-B_y-iB_z\cr E_x-iE_y-E_z -iB_x+B_y+iB_z \end{array}\right)
$ j = \left(\begin{array}{c}j_1\cr j_2\cr j_3\cr j_4\end{array}\right)=\frac{i}{4} \left(\begin{array}{c}\rho -J_x + iJ_y- J_z \cr \rho - J_x- iJ_y+ J_z \cr \rho + J_x - iJ_y+ J_z \cr \rho + J_x + iJ_y- J_z \end{array}\right)
$ \ という 4 × 1 行列を用意してやれば,マックスウェル方程式は,以下のようにディラック方程式と同様の行列表現で書ける(もちろん,質量項と電流項は形がちがう)。
$ i\gamma^\mu \partial_\mu \varphi - j =0
==============
訂正履歴
2019/4/10
2019/4/11
==============