グラスマン数を使わない経路積分: 振幅計算
遷移確率振幅$ G は演算子表現のハミルトニアンを使って簡単に計算できる。たとえば$ G(q_{+},q_{+};T) は
$ G(q_{+},q_{+};T) =\langle q_{+}|e^{-i\hat{H}T}|q_{+}\rangle
$ = \frac{1}{2}(\langle0|-i\langle1|)e^{-i\hat{H}T}(|0\rangle+i|1\rangle)=\cos(\Omega T)\,.
これと同じ結果が前ページの計算で得られるかを確かめるには,まず微小時間$ \Delta tの1ステップでの遷移確率振幅はを計算する。前ページの$ q_\pm,$ p_\pmを使って
$ G(q_{n+1},q_{n};\Delta T)=\sum_{q_{n}}\exp\left(i\Delta T\left[\frac{\pi}{2}\frac{p_{n}(q_{n+1}-q_{n})}{\Delta T}+\Omega p_{n}q_{n}\right]\right)
$ =\cos\left(\frac{\pi}{2\sqrt{2}}(q_{n+1}-q_{n})+\Omega q_{n}\Delta T\right)
から
$ G(q_{\pm},q_{\pm};\Delta T)=\cos(\Omega\Delta T)\,,\;\;G(q_{\pm},q_{\mp};\Delta T)=\pm\sin(\Omega\Delta T)
が得られる。
有限時間$ Tの遷移確率振幅は数学的帰納法で計算できる。今,$ G(q_{\pm},q_{\pm};T) 及び $ G(q_{\pm},q_{\pm};T)が
$ G(q_{\pm},q_{\pm};T)=\cos(\Omega T)\,,\;\;G(q_{\pm},q_{\mp};T)=\sin(\Omega T)
と書けたとすると,それから微小時間たった$ Gは
$ G(q_{+},q_{+};T+\Delta T) =G(q_{+},q_{+};\Delta T)G(q_{+},q_{+};T)+G(q_{-},q_{+};\Delta T)G(q_{-},q_{+};T)
$ =\cos(\Omega\Delta T)\cos(\Omega T)+\sin(\Omega\Delta T)\sin(\Omega T)=\cos(\Omega(\Delta T+T))
となる。$ G(q_{\pm},q_{\mp};T+\Delta T)=\sin(\Omega(T+\Delta T))なども同様に計算できる。