グラスマン数を使わない経路積分
実は細かい計算にバグがあります。ただいまデバッグ中ですが,気がついたら教えてください。
フェルミ振動子
次のハミルトニアンを持つ一次元調和振動子を考える。
$ \hat{H}=i\Omega\left(\hat{C}_{+}\hat{C}_{-}-\frac{1}{2}\right)\,,
ここで $ C_{\pm} は次の反交換関係を満たす生成・消滅演算子である。
$ [\hat{C}_{+},\hat{C}_{-}]_{+}\equiv\hat{C}_{+}\hat{C}_{-}+\hat{C}_{-}\hat{C}_{+}=1\,\;\;\hat{C}_{+}^{2}=\hat{C}_{-}^{2}=0\,.
このハミルトニアンは以下の二つの独立な固有ベクトル$ |0\rangle、$ |1\rangleをもつ。
$ \hat{H}|0\rangle=-\frac{i\Omega}{2}|0\rangle\,,\;\;\hat{H}|1\rangle=\frac{i\Omega}{2}|1\rangle\,,
これらを以下の行列表現であらわす。
$ |1\rangle=\left(\begin{array}{c} 0\\1 \end{array}\right)\,,\;\;|0\rangle=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\end{array}\right)
この表現では生成・消滅演算子は
$ \hat{C}_{+}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right) $ \hat{C}_{-}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0\end{array}\right)
と書ける。
ここで、新しい演算子$ \hat{p}と$ \hat{q} を
$ \hat{p}=\sqrt{2\Omega}i(\hat{C}_{+}-\hat{C}_{-})\,,\;\;\hat{q}=\sqrt{\frac{2}{\Omega}}(\hat{C}_{+}+\hat{C}_{-})\,,
と定義すると,これらは正則な演算子で,その固有値は
$ \hat{p}|p_{\pm}\rangle=p_{\pm}|p_{\pm}\rangle\,,\;\;\hat{q}|q_{\pm}\rangle=q_{\pm}|q_{\pm}\rangle\,,
となる。ただし、$ p_{\pm}=\pm\sqrt{\Omega/2}、 $ q_{\pm}=\pm\sqrt{1/2\Omega}である。固有ベクトルは $ |p_{\pm}\rangle=(|0\rangle\pm i|1\rangle)/\sqrt{2} と$ |q_{\pm}\rangle=(|0\rangle\pm|1\rangle)/\sqrt{2}になる。
これらを使うとハミルトニアンは
$ \hat{H}=i\Omega\hat{q}\hat{p}
と書ける。
経路和
以下では簡単のため$ \Omega=1 とする。
いま計算したいのは初期時刻$ t=t_{i}のある状態からある時刻$ t=t_{f}に移る遷移確率である。
任意の状態は $ |q_{\pm}\rangleの二つの固有ベクトルの重ね合わせで書けるので時刻 $ t_i のときに $ |q_{i}\rangle にあった系が$ t_f のときに $ |q_{f}\rangle に移る確率振幅を計算すればよい。これを$ G(q_{f},q_{i};t_{f}-t_{i})と書こう。
この手の計算の定石で、時間を$ \Delta t の微小間隔に分割する。
$ G(q_{f},q_{i};t_{f}-t_{i}) =\langle q_{f}|\exp[-i\hat{H}(t_{f}-t_{i})]|q_{i}\rangle
$ \simeq\langle q_{f}|\prod_{n=1}^{N}(1+i\hat{H}\Delta t)]|q_{i}\rangle
ただし、 $ N=(t_{f}-t_{i})/\Delta tである。
この遷移確率振幅を計算するのに,完全性条件 $ 1=\sum_{p\pm}|p_{\pm}\rangle\langle p_{\pm}|および $ 1=\sum_{q\pm}|q_{\pm}\rangle\langle q_{\pm}| を使う。
1ステップの時間発展は$ 1+i\hat{H}\Delta tと書けるので
$ 1+i\hat{H}\Delta t =1+i\Omega\Delta t\sum_{q\pm}|q_{\pm}\rangle\langle q_{\pm}|\hat{q}\hat{p}\sum_{p\pm}|p_{\pm}\rangle\langle p_{\pm}|]
$ =1+i\Omega\Delta t\sum_{q\pm,p\pm}q_{\pm}p_{\pm}\langle q_{\pm}|p_{\pm}\rangle|q_{\pm}\rangle\langle p_{\pm}|
この式の一行目では時間発展はハミルトニアンは演算子$ i\hat{q}\hat{p} で表されているが,二行目では完全性条件をつかって,それを$ c 数である固有値の和に変換している。これは通常の経路積分での固有値での積分に対応する。
ベクトル $ |p_{\pm}\rangle および $ |q_{\pm}\rangleの間の内積は定義より直接計算できる。たとえば $ \langle p_{+}|q_{+}\rangle は
$ \langle p_{+}|q_{+}\rangle=\frac{1}{2}(1+i)=\frac{1}{\sqrt{2}}\exp\left(\frac{i\pi}{2}p_{+}q_{+}\right)\,.
となる。
これより、1ステップの遷移確率振幅は
$ \langle q_{\pm}|(1+i\hat{H}\Delta t)|q_{\pm}\rangle=1
$ \langle q_{\pm}|(1+i\hat{H}\Delta t)|q_{\mp}\rangle=\sum_{p_{\pm}}\exp\left(\pm\frac{i\pi}{2}\frac{p_{\pm}(q_{\pm}-q_{\mp})}{\Delta t}\right)
と計算できる。
ここで $ 1=\exp\left(\frac{1}{2}i\pi(p_{+}-p_{+})\right)と書けるので上の二式は
$ \langle q'|(1+i\hat{H}\Delta t)|q\rangle=\sum_{p_{\pm}}\exp\left(\pm\frac{i\pi}{2}\frac{p_{\pm}(q'-q)}{\Delta t}\right)
とまとめられる。ただし$ q と $ q' は $ q_{+}=\sqrt{1/2}と $ q_{-}=-\sqrt{1/2}のふたつのうちのどちらかの値をとる。
普通の一粒子の経路積分では,経路 $ x(t) は離散化された各時刻 $ \{t_{i}\}=t_{0},t_{1},\cdots,t_{N}での位置 $ \{x_{i}\}=x_{1},x_{2},\cdots,x_{N}で表されるが各時刻での位置$ x_iは連続した実数である。それに対して,ここでのフェルミオン振動子の場合は $ qは $ q_{+} = \sqrt{1/2} と $ q_{-}=-\sqrt{1/2} の固有値しかもたないので,このどちらかの値の列 $ \{q_{i}\}=q_{1},q_{2},\cdots,q_{i,}\cdots,q_{N}であらわされる。
したがって,フェルミオン振動子の場合は連続値$ x_iによる積分の代わりに,以下のように$ q_iの2つの値($ q_+と$ q_-)に関して和をとってやればよい。
$ G =\lim_{\Delta t\rightarrow0}\prod_{n}\left\{ \sum_{p_{n},q_{n}}\frac{1}{2}\exp\left(-i\Delta t\left[\frac{\pi}{2}\frac{p_{n}(q_{n+1}-q_{n})}{\Delta t}-H(p_{n},q_{n})\right]\right)\right\}
$ =A\lim_{\Delta t\rightarrow0}\sum_{\{p_{n},q_{n}\}}\left\{ \frac{1}{2}\exp\left(-i\sum_{n}\left[\frac{\pi p_{n}}{2}(q_{n+1}-q_{n})-\Omega p_{n}q_{n}\Delta t\right]\right)\right\}
$ \,\equiv A\mathfrak{S}_{p}\,\mathfrak{S}_{q}\,\frac{1}{2}\exp\left[-i\int\left(\frac{\pi}{2}p\frac{d}{dt}q-\Omega pq\right)dt\right]
ただし,$ Aは規格化定数である。ここで,経路和の記号として,
$ \mathfrak{S}_{p}=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\sum_{\{p_{n}\}}
と書き($ \mathfrak{S}はドイツの花文字で $ S),すべての可能な $ \{p_{0},p_{1},\cdots\}に関する和をあらわす。これは連続量$ xに関する経路積分 $ \int\mathscr{D}x に対応するものである。