フワリズミとツルカメ

これを読んで，前から思っていたことを整理して書いてみよう。実は筆者は @kikmako 氏も @shinji_kono 氏もリアルにあったことはないが，前からネット上で存じ上げており（両氏ともかなり有名人），お二人とも鋭い洞察力と深い理解力をお持ちなのは承知している。では何故そんな二人がこうも違う意見になるのだろうか。これは，実は両方とも正しいが，想定している「掛け算」が質的に違うのが原因だと思う。

それに対してフワリズミ掛け算は実際の現実は忘れて，抽象的な代数演算で答えをもとめる。具体的には鶴と亀の数を x, y という変数であらわし，x + y = 6， 2x + 4y = 20 と式をたてる。それから先はあつかっているのが亀の数か足の数なんてことは全く気にせずに，単に機械的な代数操作をすれば，x = 4，y = 2 が求められる。たとえば 1つ目の式から x = 6 - y を出し，2つ目に代入すると y = 2 が出てきて，これを1つ目に戻すと x = 4 となる。この操作をするときに鶴や亀はまったく必要なく，機械的な式変形の法則さえあればよい。答えがでてきたあとで，「あ，x は鶴だったんだ」と思い出せばよいので，思考の大幅な節約になる。

フワリズミ掛け算は抽象化されているので，それに代数操作以上の意味はない。だから二つの数を掛けたときの結果がちゃんと定義されていさえすればよく，順序はまったく可換である。それに対して，ツルカメ掛け算で 2 x と書けば，足が2本の鶴が x 羽ということなので，二つの数の意味が違うのを意識しなければならない。これが，冒頭で引用した @shinji_kono 氏の「かけ算の意味は可換にならない」の意図する所だと思う。

ここまでは理解できるが，ここからが微妙である。世の「順序ある派」の論客はこの区別を立式の順序であらわすべし，と主張する。つまり「2 かける x」と「x かける 2」は意味が違うというのである。 これは，もし認めたとしても日本の小学校低学年でしか通じないローカルルールであり，試験でそれに従わないのは誤答とするのはやりすぎだと思う。しかし，もし，まだ抽象思考に慣れていない小学生に教えるのに，ツルカメ掛け算の方がわかりやすいというエビデンスがあるなら（寡聞にしてそういうのは知らないけど），ツルカメ的非可換性は考慮してもいいかもしれない。ただし，それを順序であらわすというのは間違いだと思う。

ちなみに意味を考えなくてはならないツルカメ的な掛け算は他にいろいろなパターンが考えられて，たとえば長方形の縦と横をかけて面積を出すときは，掛ける数と掛けられる数は可換である。つまりツルカメ的掛け算では，その対象によって演算法則を吟味してやることが必要なのである。

最後にこの論争をみていていつも思うのだが，どちらの陣営も，もう少しソフトに議論できないものだろうか。論争は「小学校の教師風情には数学が理解できてない」「実際に子供に接してないやつらになにがわかる」みたいな言葉の応酬になって，感情的な宗教戦争になっている場合がほどんどではなかろうか。もっと建設的に話しあって，「掛け算の数の意味は考えなくてはならないが，逆順にしたら減点にはしなくてもいいよね」あたりの落とし所に落ち着くといいと思う。

（2024/3/29 初稿）