Lorentz transformation
人Aの居る座標を別の人Bが通過して等速運動で離れてゆくとする.
2人の座標系をそれぞれ
$ O(t,x,y,z)
$ O'(t',x',y',z')
とする.
Aから見てBの移動方向をAの$ x軸とし, 移動速度を$ v, 擦れ違ふ時刻を$ t=0とする.
AからBへの座標變換を考へる.
相對論を無視し, Galilei 變換をすると, 2人の距離は$ vt離れるから
$ \begin{bmatrix} t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix} ≈ \begin{bmatrix} t\\x-vt\\y\\z\end{bmatrix}
これは實際は近似であり, $ vが光速$ cに近附くと成立しない.
以下ではより一般化されたLorenz變換を導く.
$ t=0でAが光を放つとその位置は
$ x^2 +y^2 +z^2 = (ct)^2
光速度不變の原理 ‹光速は等速運動する誰から見ても變化しない› よりBでも同樣に
$ x'^2 +y'^2 +z'^2 = (ct')^2
Aの式に2次の項しかないことから線形變換 (理由は後述)
$ \begin{bmatrix} t'\\x'\\y'\\z' \end{bmatrix} ≈ \begin{bmatrix} a_0t +a_1x \\ a_2(x -vt) \\ y \\ z \end{bmatrix}
を假定する.
Aの式に代入し
$ \begin{aligned} (a_2(x-vt))^2 +y^2 +z^2 &= (c(a_0t +a_1x))^2 \\ {a_2}^2(v^2t^2 -2vtx +x^2) +y^2 +z^2 &= c^2({a_0}^2t^2 + 2a_0a_1tx +{a_1}^2x^2) \\ ({a_2}^2 -{a_1}^2c^2)x^2 +y^2 +z^2 &=({a_0}^2c^2 -{a_2}^2v^2)t^2 +2(a_0a_1c^2 +{a_2}^2v)tx\end{aligned}
これとAの式を比較し
$ \begin{aligned} {a_2}^2 -{a_1}^2c^2 &=1 \\ {a_0}^2c^2 -{a_2}^2v^2 &= c^2 \\ a_0a_1c^2 +{a_2}^2v &= 0 \end{aligned}
(この比較に於いて, 變換先に2次以上の式を假定したとしても消えることが分かる.)
$ a^2 を消去する
$ \begin{aligned} {a_2}^2 &= {a_1}^2c^2 + 1 && \text{--- (0)} \\ {a_2}^2 &= \frac{({a_0}^2 -1)c^2}{v^2} && \text{--- (1)} \\ {a_2}^2 &= -\frac{a_0a_1c^2}{v} && \text{--- (2)} \end{aligned}
$ \begin{aligned} -\frac{a_0a_1c^2}{v} &= {a_1}^2c^2 + 1 &&\text{(0)と(2)を比較 --- (0')}\\ -\frac{a_0a_1c^2}{v} &= \frac{({a_0}^2 -1)c^2}{v^2} &&\text{(1)と(2)を比較 --- (1')} \end{aligned}
$ a_1を消去する
$ \begin{aligned} {a_1}^2c^2v +a_0a_1c^2 +v &= 0 &&\text{(0')より} \\ a_1 &= \frac{-a_0c^2 ±\sqrt{{a_0}^2c^4 -4c^2v^2}}{2c^2v} \\ &= \frac{-a_0 ±\sqrt{{a_0}^2 -\frac{4v^2}{c^2}}}{2v} &&\text{$c^2$で約分 --- (0'')} \\ a_1 &= \frac{1 -{a_0}^2}{a_0v} &&\text{(1')より}\\&= \frac{1}{v}\left(\frac{1}{a_0} -a_0\right) &&\text{--- (1'')} \end{aligned}
$ a_0につき解き, $ a_1,a_2も求める.
$ \begin{aligned} \frac{-a_0 ±\sqrt{{a_0}^2 -\frac{4v^2}{c^2}}}{2v} &= \frac{1}{v}\left(\frac{1}{a_0} -a_0\right) &&\text{(0'')と(1'')を比較} \\ -a_0 ±\sqrt{{a_0}^2 -\frac{4v^2}{c^2}} &= 2\left(\frac{1}{a_0} -a_0\right) \\ ±\sqrt{{a_0}^2 -\frac{4v^2}{c^2}} &= 2\left(\frac{1}{a_0} -a_0\right) +a_0 = \frac{2}{a_0} -a_0 \\ {a_0}^2 -\frac{4v^2}{c^2} &= \left(\frac{2}{a_0} -a_0 \right)^2 = {a_0}^2 -4 +\frac{4}{{a_0}^2} \\ -\frac{4v^2}{c^2} &= -4 +\frac{4}{{a_0}^2} \\ -\frac{v^2}{c^2} &= -1 +\frac{1}{{a_0}^2} \\ {a_0}^2 &= \frac{1}{1 -\frac{v^2}{c^2}} \\ a_0 &= \frac{1}{\sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}}} &&\text{$v=0$で$a_0=1$のために正} \\ a_1 &= \frac{1}{v}\left( \sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}} -\frac{1}{\sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}}}\right) &&\text{(1'')より} \\ &=\frac{1}{v} \frac{1}{\sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}}} \left( 1 -\frac{v^2}{c^2} - 1 \right) = -\frac{1}{\sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}}} \frac{v}{c^2} \\ {a_2}^2 &= -\frac{c^2}{v} \frac{1}{\sqrt{1 -\frac{v^2}{c^2}}} \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\frac{v}{c^2}\right) = \frac{1}{1 -\frac{v^2}{c^2}} &&\text{(2)より} \\ a_2 &= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} &&\text{$v=0$で$a_2=1$のために正} \end{aligned}
$ β=\frac{v}{c}, γ=\frac{1}{\sqrt{1 -β^2}}とし,
$ \begin{aligned} t' &= γ\left(t- \frac{v}{c^2}x\right) \\ x' &= γ(x -vt) \end{aligned}
行列で書くと
$ \begin{aligned} \begin{bmatrix}t' \\ x'\end{bmatrix} &= γ\begin{bmatrix} 1 &-\frac{v}{c^2} \\ -v &1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}t \\ x\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}ct' \\ ix'\end{bmatrix} &= γ\begin{bmatrix} 1 &iβ \\ -iβ &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}ct \\ ix \end{bmatrix} &&\text{$c,i$で整理する} \end{aligned}
$ \tan(θ)=-iβとすると
$ \begin{bmatrix}ct' \\ ix'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(θ) &-\sin(θ) \\ \sin(θ) &\cos(θ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}ct \\ ix \end{bmatrix}