ラプラス変換の性質 / Characteristics of Laplace Transform
ラプラス変換 : $ F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f(t) dt
ラプラス逆変換 : $ f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma - i \infty}^{\sigma + i \infty} F(s) e^{s t} ds = \sum_{m=1}^{n} \textrm{Res}(F(s) e^{s t}, s_{m})
ラプラス変換の性質
(1) 線形性
$ a_{1} f_{1}(t) + a_{2} f_{2}(t) \rightleftharpoons a_{1} F_{1}(s) + a_{2} F_{2}(s)
$ \int_{0}^{\infty} \{a_{1} f_{1}(t) + a_{2} f_{2}(t)\} e^{- s t} dt
$ = \int_{0}^{\infty} \{a_{1} f_{1}(t) e^{- s t} + a_{2} f_{2}(t) e^{- s t}\} dt
$ = a_{1} \int_{0}^{\infty} f_{1}(t) e^{- s t} dt + a_{2} \int_{0}^{\infty} f_{2}(t) e^{- s t} dt
$ = a_{1} F_{1}(s) + a_{2} F_{2}(s)
(2) 微分
$ \frac{d}{dt}f(t) \rightleftharpoons sF(s) - f(0)
$ ∵ \frac{d}{dt}f(t) \rightleftharpoons \int_{0}^{\infty} \frac{d}{dt}f(t) e^{-st} dt = \left (f(t) e^{-st} \right)_{0}^{\infty} + s \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt = s F(s) - f(0)
さらに、
$ \frac{d^{n}}{dt^{n}}f(t) \rightleftharpoons s^{n}F(s) - \{s^{n-1} f(0) + s^{n-2} f'(0) + \cdots + f^{(n-1)}(0) \}
厳密には、
$ f(0) = \lim_{t \rightarrow 0+} f(t)
(3) 積分
$ \int_{0}^{t} f(t) dt \rightleftharpoons \frac{1}{s} \{ F(s) + f^{(-1)}(0)\}
$ (f^{-1}(0) =\lim_{t_{0} \rightarrow 0}\int_{0}^{t_{0}} f(t) dt)
$ \therefore x(t) = \int_{0}^{t} f(t) dt \ \ \rightarrow \ \ x'(t) = f(t) \ \ \rightarrow \ \ sX(s) - x(0) = F(s)
$ \hspace*{3em} \rightarrow \ \ X(s) = \frac{1}{s} \{F(s) + x(0)\} = \frac{1}{s}\{F(s) + \lim_{t_{0} \rightarrow 0}\int_{0}^{t_{0}} f(t) \}
なお、$ f^{(-1)}(0) は、$ f(t) が $ \delta 関数以外であれば実用上 0 だと思って間違いない。
さらに、
$ \int\int\cdots\int_{0}^{t} f(t) (dt)^{n} \rightleftharpoons
$ s^{-n}F(s) + \{s^{-n} f^{(-1)}(0) + s^{-(n-1)} f^{-2}(0) + \cdots + s^{-1} f^{(-n)}(0) \}
(4) 拡大定理(時間軸の伸縮)
$ f(at) \rightleftharpoons \frac{1}{a} F(\frac{s}{a}) \ \ (a>0)
$ x = at とおいてラプラス変換を実行
$ \int_{0}^{\infty} f(at) e^{- s t} dt = \int_{0}^{\infty} f(x) e^{- s \frac{x}{a}} \frac{dx}{a}
$ = \frac{1}{a} \int_{0}^{\infty} f(x) e^{- \frac{s}{a} x} dx = \frac{1}{a} F(\frac{s}{a})
(5) 時間軸の推移
$ f(t - a) \rightleftharpoons e^{- as} F(s) \ \ (a>0)
$ x = t - a とおいてラプラス変換を実行
$ t < 0 \rightarrow f(t) = 0 なので、$ t < a \rightarrow f(t-a) = 0
$ \therefore \int_{0}^{\infty} e^{- s t} f(t - a) dt = \int_{a}^{\infty} e^{- s t} f(t - a) dt = \int_{0}^{\infty} e^{- s (x + a)} f(x) dx
$ = e^{- s a} \int_{0}^{\infty} e^{- s x} f(x) dx = e^{- s a} F(s)
(6) 合成定理(たたみ込み積分)
$ \int_{0}^{t} f_{1}(t-\tau) f_{2}(\tau) d\tau \rightleftharpoons F_{1}(s)\cdot F_{2}(s)
$ F_{1}(s) = \int_{0}^{\infty} f_{1}(u) e^{-su} du
$ F_{2}(s) = \int_{0}^{\infty} f_{1}(v) e^{-sv} dv
とおくと、
$ F_{1}(s) \cdot F_{2}(s) = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty} f_{1}(u) f_{2}(v) e^{-s(u+v)} du dv
さらに、$ u+v=t, v=\tau とおくと、積分領域は、
$ 0 \leq u \leq \infty, \ 0 \leq v \leq \infty \ \ \ \rightarrow \ \ \ 0 \leq t-\tau \leq \infty, \ 0 \leq \tau \leq \infty \ \ \ \rightarrow \ \ \ 0 \leq t \leq \tau, \ 0 \leq \tau \leq \infty
となる。
$ \therefore F_{1}(s) \cdot F_{2}(s) = \int_{0}^{\infty} \left\{ \int_{0}^{t} f_{1}(t-\tau) f_{2}(\tau) d\tau \right \} e^{-st} dt
(7) 初期値と最終値の定理
$ \lim_{t \rightarrow 0+}f(t) = \lim_{s \rightarrow \infty}s F(s) :初期値の定理
$ \lim_{t \rightarrow \infty}f(t) = \lim_{s \rightarrow 0}s F(s) :最終値の定理
(8) 周波数特性との関係
$ F(i \omega) \rightarrow 周波数特性 (伝達関数)
$ s=i\omega と置けばよい。
ラプラス変換表
この対応表を見れば、微分方程式などの演算に非常に役立つ。
$ f(t) $ \rightleftharpoons $ F(s)
------------------------------
$ u(t) $ \rightleftharpoons $ \frac{1}{s}
$ t $ \rightleftharpoons $ \frac{1}{s^{2}}
$ t^{n} $ \rightleftharpoons $ \frac{n!}{s^{n+1}}
$ e^{at} $ \rightleftharpoons $ \frac{1}{s-a}
$ te^{at} $ \rightleftharpoons $ \frac{1}{(s-a)^{2}}
$ t^{n}e^{at} $ \rightleftharpoons $ \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}
$ \cos \omega t $ \rightleftharpoons $ \frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}
$ \sin \omega t $ \rightleftharpoons $ \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}
$ e^{at} \cos \omega t $ \rightleftharpoons $ \frac{s-a}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}
$ e^{at} \sin \omega t $ \rightleftharpoons $ \frac{\omega}{(s-a)^{2}+\omega^{2}}
$ \frac{d}{dt}g(t) $ \rightleftharpoons $ s G(s)
$ \int_{0}^{t} g(t) dt $ \rightleftharpoons $ \frac{1}{s}G(s)
($ f(t), g(t) は $ t < 0 では 0 であるとする)