フーリエ変換の性質 / Characteristics of Fourier Transform
フーリエ変換 : $ F(\omega)= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt
フーリエ逆変換 : $ f(t)= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega t} d\omega
フーリエ変換の性質
(1) 線形性
$ a_{1} f_{1}(t) + a_{2} f_{2}(t) \rightleftharpoons a_{1} F_{1}(\omega) + a_{2} F_{2}(\omega)
$ \int_{-\infty}^{\infty} \{a_{1} f_{1}(t) + a_{2} f_{2}(t)\} e^{-i \omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \{a_{1} f_{1}(t) e^{-i \omega t} + a_{2} f_{2}(t) e^{-i \omega t}\} dt
$ = a_{1} \int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t) e^{-i \omega t} dt + a_{2} \int_{-\infty}^{\infty} f_{2}(t) e^{-i \omega t} dt
$ = a_{1} F_{1}(\omega) + a_{2} F_{2}(\omega)
(2) 対称性
$ F(t) \rightleftharpoons 2 \pi f(-\omega)
フーリエ逆変換の公式で, $ t = -t' とおくと,
$ f(-t')= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{- i \omega t'} d\omega
$ t' \rightarrow \omega, \omega \rightarrow t と書き換えると,
$ f(-\omega)= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(t) e^{- i \omega t} dt = F(t)
よって,
$ 2 \pi f(-\omega) \rightleftharpoons F(t)
(3) 時間軸の伸縮
$ f(at) \rightleftharpoons \frac{1}{|a|} F(\frac{\omega}{a})
1. $ a > 0 のとき
$ x = at とおいてフーリエ変換を実行
$ \int_{-\infty}^{\infty} f(at) e^{- i \omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{- i \omega \frac{x}{a}} \frac{dx}{a}
$ = \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{- i \frac{\omega}{a} x} dx = \frac{1}{a} F(\frac{\omega}{a})
2. $ a < 0 のとき
$ x = at = - |a|t とおいてフーリエ変換を実行
$ \int_{-\infty}^{\infty} f(at) e^{- i \omega t} dt = \int_{\infty}^{-\infty} f(x) e^{- i \omega \frac{x}{a}} \frac{-dx}{|a|}
$ = \frac{1}{|a|} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{- i \frac{\omega}{a} x} dx = \frac{1}{|a|} F(\frac{\omega}{a})
(4) 時間軸と周波数軸の推移
$ f(t - t_{0}) \rightleftharpoons F(\omega) e^{-i \omega t_{0}}
$ f(t)e^{i \omega_{0} t} \rightleftharpoons F(\omega - \omega_{0})
$ x = t - t_{0} とおいてフーリエ変換を実行
$ \int_{-\infty}^{\infty} f(t - t_{0}) e^{- i \omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{- i \omega (x + t_{0})} dx
$ = e^{-i \omega t_{0}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{- i \omega x} dx = e^{-i \omega t_{0}} F(\omega)
同様に,
$ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{i \omega_{0} t} e^{- i \omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{- i (\omega - \omega_{0})t} dx= F(\omega - \omega_{0})
(5) 微分
$ \frac{d}{dt}f(t) \rightleftharpoons i \omega F(\omega)
$ \frac{d}{dt}f(t) = \frac{d}{dt} \left\{ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega t} d\omega \right\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \left\{\frac{d}{dt} e^{i \omega t} \right\} d\omega
$ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) i\omega e^{i \omega t} d\omega \rightleftharpoons i \omega F(\omega)
(6) 積分
$ \int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau \rightleftharpoons \frac{F(\omega)}{i \omega}
$ g(t) = \int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau とおくと,$ \frac{d}{dt}g(t) = f(t)
$ g(t), \frac{d}{dt}g(t) のフーリエ変換をそれぞれ $ G(\omega), F(\omega) とすると,
$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d g(t)}{dt} e^{-i \omega t} dt = i\omega G(\omega)
$ g(t) = \int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau \rightleftharpoons \frac{F(\omega)}{i \omega}
(7) パーシバルの等式
$ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2}dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^{2}d\omega
$ g(t) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t+t')f^{*}(t')dt' とおくと,$ g(t) のフーリエ変換は,
$ G(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \left\{\int_{-\infty}^{\infty}f(t+t')f^{*}(t')dt'\right\} e^{-i\omega t}dt = \int_{-\infty}^{\infty} f^{*}(t') e^{i\omega t'}dt' \cdot \int_{-\infty}^{\infty}f(t+t') e^{-i\omega (t + t')}dt
$ = \left\{ \int_{-\infty}^{\infty} f(t') e^{-i\omega t'}dt' \right\}^{*} \cdot \int_{-\infty}^{\infty}f(t+t') e^{-i\omega (t + t')}dt = F^{*}(\omega) F(\omega)
$ g(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}G(\omega) e^{i \omega t} d\omega より,
$ \int_{-\infty}^{\infty} f(t+t')f^{*}(t')dt' = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^{2} e^{i\omega t} d\omega
ここで $ t= 0とおき,改めて $ t' \rightarrow t とすると,
$ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2}dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^{2}d\omega
(8) たたみ込み積分 (convolution)
$ f_{1}(t) f_{2}(t) \quad \rightleftharpoons \quad \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\omega') F_{2}(\omega - \omega') d\omega'
$ F_{1}(\omega) F_{2}(\omega) \quad \rightleftharpoons \quad \int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(t') f_{2}(t - t') dt'
上側の式で,右辺のフーリエ逆変換 $ f(t) が左辺と等しくなることを証明
$ f(t) = \left(\frac{1}{2\pi}\right)^{2}\int_{-\infty}^{\infty} \left\{ \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\omega') F_{2}(\omega - \omega') d\omega' \right\} e^{i\omega t} d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\omega') \left\{ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{2}(\omega - \omega') e^{i \omega t} d\omega \right\}d\omega'
$ \{ \ \ \ \} 内に周波数軸推移の公式を用いると,
$ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{2}(\omega - \omega') e^{i \omega t} d\omega = f_{2}(t) e^{i \omega' t}
よって
$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\omega') f_{2}(t) e^{i \omega' t} d\omega'
$ = \left\{ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(\omega') e^{i \omega' t} d\omega' \right\} f_{2}(t)
$ = f_{1}(t) f_{2}(t)