複素関数論のTaylor展開とLaurent展開
Def.
$ F(z) = \sum_{n=0}^\infty A_n (z - \alpha)^nの形をしている級数をベキ級数という. ただし$ A_nは複素数の列とする.
点$ \alpha \in \mathbb{C}を含む領域$ D上で$ f(z)が正則であるとする.
点$ \alphaを中心とした半径$ Rの円$ C(\alpha,r)が$ D内にあるとする.
円内部の任意の点$ z \in Cすなわち$ |z - \alpha| < rにおいて,
$ f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(\alpha)}{n!} (z - \alpha)^n
この式を$ f(z)の$ \alphaを中心としたTaylor展開という.
代表的な例として
$ e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}
$ \sin z = \sum^\infty_{n=0} (-1)^n \frac{z^{2n + 1}}{(2n + 1)!}
$ \sin z = \sin 0 + z\cos0 - \frac{z^2}{2!} \sin 0 - \frac{z^3}{3!} \cos 0 + \frac{z^4}{4!} \sin 0 + \cdots = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} + \cdots
$ \cos z = \sum^\infty_{n=0} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}
$ \cos z = \cos 0 + z\sin 0 - \frac{z^2}{2!} \cos 0 - \frac{z^3}{3!} \sin 0 + \frac{z^4}{4!} \cos 0 + \cdots = 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} + \cdots
どのように計算しても,Taylor展開の係数部分は$ \frac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}となる.
点$ \alpha \in \mathbb{C}とする.
円環領域$ D = \{ z \in \mathbb{C} \mid R_1 < |z - \alpha| < R_2 \}上で$ f \colon D \to \mathbb{C}が正則であるとする.ただし$ 0 \leq R_1 < R_2 < \infty
$ D上の円$ C = C(\alpha,r)を一つ定める.ただし$ R_1 < r < R_2
$ n \in \mathbb{Z}に対し$ A_n \coloneqq \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z-\alpha)^{n+1}}dzを定める.
このとき,任意の$ z \in Dに対し,
$ f(z) = \sum^\infty_{n=-\infty}\frac{A_n}{(z-\alpha)^2}