無矛盾性を表す文の含意関係

Prop

1. $ \Phiが導出可能性条件$ \bf D1を満たすとき，$ \mathsf{PA} \vdash \mathrm{Con}^\mathrm{HB}_\Phi \to \mathrm{Con}^\mathrm{L}_\Phi

proof:

$ \mathsf{PA} \vdash 0 \neq 1なので$ \bf D1より$ S \vdash \Phi(\ulcorner 0 \neq 1 \urcorner)

$ \mathsf{PA} \vdash \mathrm{Con}^\mathrm{HB}_\Phi \to (\Phi(\ulcorner 0 \neq 1 \urcorner) \to \lnot\Phi(\ulcorner 0 = 1 \urcorner))

よって$ \mathsf{PA} \vdash \mathrm{Con}^\mathrm{HB}_\Phi \to \mathrm{Con}^\mathrm{L}_\Phi

2. $ \mathsf{PA} \vdash \mathrm{Con}^\mathrm{L}_\Phi \to \mathrm{Con}^{\Sigma_1}_\Phi

proof:$ 0 = 1は$ \Sigma_1文なので自明．

3. $ \mathsf{PA} \vdash \mathrm{Con}^{\Sigma_1}_\Phi \to \mathrm{Con}^\mathrm{G}_\Phi

proof:自明．

references: