様相演算子の一般化について
参考文献
$ Oは様相演算子の集合：$ O = \{\triangle_0, \dots, \triangle_n\} ここで有限であることは要請されない．すなわち無限個の様相演算子を持つ様相論理を考えることも出来る．
$ \rho : O \to \Nは様相演算子の$ \triangle_iのアリティを定める．
ここで0も許容されることに注意．
$ \mathrm{Prop}は命題変項の集合
論理式として$ \triangle_i(\varphi_1, \dots, \varphi_{\rho(\triangle_i)})を許容する．
ここで
$ \rho(\triangle_i) = 0のとき，$ \triangle_iは単体で論理式となる．様相定数? (modal constants) $ \rho(\triangle_i) = 1のときはカッコとかを省略して単に$ \triangle_i\ \varphiとか書く．
もちろん，周知の通り$ \Box, \Diamondとかがそれに当たる．
$ \rho(\triangle_i) = 2のときは中置記法を使うことが多い． すなわち$ \varphi \triangle_i \psiと書く．
最も一般的な様相論理は，$ \tau = (\{\Box = 1, \Diamond = 1\})である．
$ \tauフレーム$ \mathcal{F}_\tau = \lang W, R_{\triangle_1}, \dots,R_{\triangle_n} \rangあるいは$ \mathcal{F}_\tau = \lang W, \{R_{\triangle_i}\}_{i \in n} \rangとか書く．
$ R_{\triangle_i}: \underbrace{W \times \cdots \times W}_{\rho(\triangle_i) + 1}
$ \tauモデル$ \mathcal{M}_\tau = \lang \mathcal{F}_\tau, V \rangとする．
充足関係$ \mathcal{M}_\tau, w \vDash \triangle(\varphi_1, \dots, \varphi_n)
$ \iff任意の$ R(w, v_1,\dots,v_n)なる$ v_1,\dots,v_nについて，各々の$ iで$ \mathcal{M}_\tau, v_i \vDash \varphi_i
と定める．