振り子運動の厳密解

振り子の振れ幅が小さな場合の良い近似

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

$$T$$は周期，$$l$$を振り子の紐の長さ，$$g$$は重力加速度

振り子の振れ幅が小さいとは言えない場合の厳密な解

第一種完全楕円積分を用いる

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \sum^\infty_{n=0} \left\lbrack \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!} \right\rbrack^2 \sin^{2n} \frac{\theta_0}{2}$$

最大の振れ幅を$$\theta_0$$とする

$$!!$$は二重階乗，すなわち

自然数$$n$$に対して$$n$$と同じ偶奇性を持つ全ての$$n$$以下の積

$$n!! = \prod_{k=0}^{\lceil n/2 \rceil - 1} (n - 2k) = n(n-2)(n-4)\cdots$$

次のようにも表される?

https://manabitimes.jp/math/1273

$$4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \frac{d \phi}{\sqrt{1 - \sin^2{\frac{\theta_0}{2}}\sin^2\phi}}$$

近似解と比べると

最大(90度)でも20%ぐらいしかずれてないということがわかっている