振り子運動の厳密解

https://www.youtube.com/watch?v=HcGREkUmu1M

振り子の振れ幅が小さな場合の良い近似

$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}

振り子の振れ幅が小さいとは言えない場合の厳密な解

$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \sum^\infty_{n=0} \left\lbrack \frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!} \right\rbrack^2 \sin^{2n} \frac{\theta_0}{2}

$ n!! = \prod_{k=0}^{\lceil n/2 \rceil - 1} (n - 2k) = n(n-2)(n-4)\cdots

次のようにも表される?

$ 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \frac{d \phi}{\sqrt{1 - \sin^2{\frac{\theta_0}{2}}\sin^2\phi}}

近似解と比べると

最大(90度)でも20%ぐらいしかずれてないということがわかっている