戸次による述語論理の意味論
項への言及である述語が各々の項のケースで$ \{0,1\}のどちらに判断されるのか?
$ D_t = \{1,0\}
一階述語論理$ \mathscr{L}について
$ \mathscr{L}上で構成される論理式の集合$ \Gamma_{\mathscr{L}}から$ D_tへの写像$ I:\Gamma_{\mathscr{L}} \mapsto D_tを$ \mathscr{L}の解釈と呼ぶ
$ Iはモデル$ Mと割り当て$ gの組$ \lang M,g \rangで構成される,$ I =\lang M,g \rang
モデル$ Mは議論領域$ D_Mと対応付け$ F_Mの組$ \lang D_M, F_M \rangで構成される
議論領域$ D_Mは,現実世界(あるいは数学の世界の)に存在する何かの集まりである 対応付け$ F_Mは,論理$ \mathscr{L}での
名前$ \alphaについて$ F_M(\alpha) \in D_M
$ n項演算子$ oについて$ o \in {D_M}^{({D_M})^n}
$ n項述語$ \thetaについて$ \theta \in {D_t}^{({D_M})^n}
となるような対応を行う写像である
割り当て$ gは論理$ \mathscr{L}での変項$ \xiについて$ g(\xi) \in D_Mとなるような写像である
変項$ \xi,\zetaについて$ g'(\zeta) = g(\xi)な$ g'を$ gの$ \xi変異と呼ぶ
$ a \in D_Mで$ g'(\xi) = aとなるような$ g変異$ g'を$ g\lbrack \xi \mapsto a \rbrackと表記する.
$ \mathscr{L}での項$ \tauについて解釈を以下のように定めると$ \llbracket \tau \rrbracket_{M,g} \in D_M
名前$ \alphaなら$ \llbracket \alpha \rrbracket_{M,g} := F_M(\alpha) \in D_M
変項$ \xiなら$ \llbracket \xi \rrbracket_{M,g} := g(\xi) \in D_M
$ n項演算子$ oなら$ \llbracket o \rrbracket_{M,g} := F_M(o) \in {D_M}^{({D_M})^n}とした上で
項$ \tau_1 ,\dots, \tau_nで$ \llbracket o\left(\tau_1,\dots,\tau_n\right) \rrbracket_{M,g} := \llbracket o \rrbracket_{M,g} \left( \llbracket \tau_1 \rrbracket_{M,g} , \dots , \llbracket \tau_n \rrbracket_{M,g} \right) \in {D_M}
項は議論領域$ D_Mの何らかの要素に対応付けられる指示対象とも呼ぶ $ \mathscr{L}での論理式$ \varphiについて解釈を以下のように定めると$ \llbracket \varphi \rrbracket_{M,g} \in D_t
論理式$ \varphi_1 ,\dots, \varphi_nとする
$ n項述語$ \thetaなら$ \llbracket \theta \rrbracket_{M,g} := F_M(\theta) \in {D_t}^{({D_M})^n}とした上で
$ \llbracket \theta\left(\varphi_1,\dots,\varphi_n\right) \rrbracket_{M,g} := \llbracket \theta \rrbracket_{M,g} \left( \llbracket \varphi_1 \rrbracket_{M,g} , \dots , \llbracket \varphi_n \rrbracket_{M,g} \right) \in {D_t}
$ n項真理関数$ \rhoについて$ \rho(\varphi_1 \cdots \varphi_n) := \llbracket \rho \rrbracket_{M,g} \left( \llbracket \varphi_1 \rrbracket_{M,g} , \dots , \llbracket \varphi_n \rrbracket_{M,g} \right) \in {D_t}
ただし$ n項真理関数$ \rho : {(D_t)}^n \mapsto D_tとして定義略
量化子について
$ \llbracket \forall \xi.\varphi \rrbracket_{M,g} = 1$ \iffすべての$ a \in D_Mで$ \llbracket \varphi \rrbracket_{M,g\lbrack \xi \mapsto a \rbrack} = 1
$ \llbracket \exists \xi.\varphi \rrbracket_{M,g} = 1$ \iff$ \llbracket \varphi \rrbracket_{M,g\lbrack \xi \mapsto a \rbrack} = 1となる$ a \in D_Mが存在する