実数関数のFourier級数
表記
実数関数とする.
以下$ 2\piの周期関数$ f(x + 2\pi) = f(x)とする.他の関数も同様. 工学に現れるほどんどの周期関数は以下のように展開可能である.
$ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty \left( a_k \cos kx + b_k \sin kx \right)
この時,$ -\pi \leq c \leq \pi
$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi + c}^{\pi+c} f(x) \cos{nx} dx$ n = 0,1,2,\dots
$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi+c}^{\pi+c} f(x) \sin{nx} dx$ n=1,2,\dots
$ f(x)が奇関数であるなら$ f(x) = -f(x) $ f(x)が偶関数であるなら$ f(x) = f(x) 奇関数と偶関数
任意の関数$ f(x)について
$ f_e(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}を$ f(x)の偶関数部分と呼ぶ. $ f_o(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}を$ f(x)の奇関数部分と呼ぶ. 偶関数$ f_e(x)と奇関数$ f_o(x)について
偶関数と偶関数の積$ f_e(x) f_e(x)は偶関数である.
奇関数と奇関数の積$ f_o(x) f_o(x)は偶関数である.
奇関数と偶関数の積$ f_e(x) f_o(x)は奇関数である.
$ \int^{c}_{-c} f_e(x) dx = 2\int^{2c}_0 f_e(x) dx
$ \int^{c}_{-c} f_o(x) dx = 0
実用上のテクニック.1
偶関数$ f_e(x)のFourier係数
$ a_n = \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 f_e(x) \cos nx dx
$ f_e(x) \cos nxは偶関数
$ b_n=0
$ f_e(x) \sin nxは奇関数
奇関数$ f_oのFourier係数
$ a_n = 0
$ b_n = \frac{2}{\pi}\int^\pi_0 f_o(x) \sin nx dx
性質: Fourier係数の線型性
$ f(x)のFourier係数を$ a_n\lbrack f \rbrack,b_n\lbrack f \rbrack,$ g(x)のFourier係数を$ a\lbrack g \rbrack_n,b_n\lbrack g \rbrackとする
定数$ c,dとする.
$ cf(x)+dg(x)のFourier係数は$ ca_n\lbrack f \rbrack+da_n\lbrack g \rbrack, cb_n\lbrack f \rbrack+db_n\lbrack g \rbrackが成り立つ.
実用上のテクニック.2
関数$ f(x)の偶関数部分$ f_e(x) \coloneqq \frac{f(x) + f(-x)}{2}と奇関数部分$ f_o(x) \coloneqq \frac{f(x) - f(-x)}{2}として
$ a_n = \frac{2}{\pi}\int^{\pi}_0 f_e(x) \cos nx dx
$ b_n = \frac{2}{\pi}\int^\pi_0 f_o(x) \sin nx dx
例
$ f(x) = \begin{cases} 1 & (0 \leq x < \pi) \\ 0 & (\pi \leq x < 2\pi) \end{cases}のFourier級数展開. 1. 奇関数$ g(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & (0 \leq x < \pi) \\ -\frac{1}{2} & (\pi \leq x <2\pi1) \end{cases}と定数関数$ h(x) = \frac{1}{2}で$ f(x) = g(x) + h(x)とできる
2. 奇関数$ g(x)については
$ a_n\lbrack g \rbrack = 0
$ b_n\lbrack g \rbrack = \frac{2}{\pi}\int^\pi_{0} \frac{1}{2} \sin nx dx = \frac{1}{\pi}\left\lbrack \frac{\cos nx}{n} \right\rbrack^\pi_0 = \frac{1}{\pi n}\left\{ (-1)^n - 1\right\} = \begin{cases} \frac{2}{\pi n} & (n = 1,3,\dots) \\ 0 & (n = 2,4,\dots)\end{cases}
3. 定数関数$ h(x)については$ a_n\lbrack h \rbrack = \begin{cases} 1&(n=0)\\0&(n\neq0) \end{cases}, b_n\lbrack h \rbrack=0
4. したがって線型性より
$ a_n\lbrack f \rbrack = \begin{cases} 1&(n=0)\\0&(n\neq0) \end{cases}
$ b_n\lbrack f \rbrack = \begin{cases} \frac{2}{\pi n} & (n = 1,3,\dots) \\ 0 & (n = 2,4,\dots)\end{cases}
よって$ f(x) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\left( \sin x + \frac{1}{3} \sin 3x + \frac{1}{5} \sin 5x + \dots\right)
$ \sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y
$ \cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y
例
$ f(x) = \begin{cases} \cos \frac{x}{2} & (0 < x < \pi) \\ -\cos\frac{x}{2} & (-\pi < x < 0) \end{cases}のFourier級数展開. $ f(x)は奇関数であるので$ a_n = 0
$ b_n(x) = \frac{2}{\pi}\int^\pi_0 \cos \frac{x}{2} \sin{nx} dx
$ = \frac{1}{\pi}\int^\pi_0 \sin\left({\frac{x}{2}+nx}\right) - \sin\left({\frac{x}{2}-nx}\right) dx
加法定理の差$ \cos x \sin y =\frac{1}{2}\left( \sin(x+y)-\sin(x-y) \right)より
$ = \frac{1}{\pi}\int^\pi_0 \sin \left({\frac{1+2n}{2}}x\right) - \sin\left({\frac{x-2n}{2}x}\right) dx
$ = \frac{1}{\pi} \left\lbrack \frac{2}{1+2n} \cos \left({\frac{1+2n}{2}}x\right) - \frac{2}{1-2n} \cos\left({\frac{x-2n}{2}x}\right) \right\rbrack^\pi_0
$ =\frac{1}{\pi}\left( -\frac{2}{1+2n} + \frac{2}{1-2n} \right)
$ =\frac{1}{\pi} \cdot \frac{-8n}{\left(1-4n^2\right)}
$ =\frac{8n}{\left(4n^2-1\right)\pi}