初学者のための群論入門(本)
ある集合$ Gが次を満たすなら，$ Gは群と呼ぶ，$ \lang G,+ \rangとも書く？ 結合法則のある演算$ +えお定義できる
単位元$ 1の存在
元$ aに対して逆元$ a^{-1}の存在
単位元$ 1の存在より
証明略
例
$ \{1\}, \{1,-1\}で乗法を考えたとき
$ \{0\}で加法を考えたとき
群$ \lang G , + \rangに対してその部分集合$ Hが演算$ +のままで群なら，$ Gの部分群と呼ぶ 特に$ H \neq Gかつ$ H \neq \{1\}なら真部分群と呼ぶ 群$ Gの部分集合$ Sで，$ Gの部分群で$ Sを含むものの内で最小のものを，$ Sで生成された部分群と呼ぶ（生成(群論)） 元$ a_1, a_2, \cdots で生成された部分群を$ \lang a_1, a_2, \cdots \rangと表す
群の位数は群の元の数とする
ただし，元の数が無限なら位数も無限とする
群の元$ fの位数は，$ fで生成される巡回群の位数とする
$ \Zの加法群で，位数有限の元は，位数1の0のみ
0は何回足しても0で閉じている，つまり0で生成される部分群は$ \{ 0\}
0以外$ \Zの乗法群で，位数有限の元は，位数1の1と，位数2の-1のみ
1は何回かけても1で閉じている，
-1は-1 -> 1 -> -1と2回で元に戻り，閉じている（生成される部分群$ \{-1,1\}）
集合$ Mとその部分集合$ H_i,H_jで，
$ H_i \neq H_jなら$ H_i \cap H_j = \emptyで，
全ての部分集合の和集合$ H_i \cup H_j \cdots \cup H_k = Mなら
その部分集合の全体集合を$ Mの類別と呼び，各々の部分集合を類と呼ぶ メモ
2項関係$ a \sim bがあるとき
集合$ Sを$ aで
$ S_a = \{s \mid s \sim a\}
$ S_{\bar a} = \{ s \mid \lnot (s \sim a) \}
でスッパリ分けることが出来る
$ S_a \cap S_{\bar a} = \emptysetかつ$ S_a \cup S_{\bar a} = S
群$ Gの部分群$ Hについて，
$ a \in Gによる部分集合$ aH = \{ah \mid h \in H\}全てを考えると，これは$ Gの類別である．
$ Haも同様
各$ aHを，$ Gの$ Hを法とする左剰余類，各$ Haを右剰余類と呼ぶ．剰余類(群論)