「ある数の各桁を足した数が3で割れればその数は3の倍数である」の拡張
10進数で3の場合
10進数で表される整数$ x_{(10)}があるとする．以下$ (10)は省略．
このとき，$ xに対して数列$ \left\{ x_1,x_2,\dots,x_n\right\}があって$ x = \sum_{k=1}^n 10^k \times x_kである．
ここで
演算$ +は10進数の通常の加算を意味する．
$ \sumはその省略表記に過ぎない．（何進数かには依存しない）
すなわち$ x = (x_1 \times 10^1) + (x_2 \times 10^2) + \cdots + (x_k \times 10^k)の略記である．
演算$ \timesは10進数の通常の乗算を意味する．
冪算$ 10^nは省略表記に過ぎない．（何進数かには依存しない）
すなわち，$ 10^n = \underbrace{10 \times 10 \times \cdots \times 10}_{n\text{ times}}の略記である．
定理
$ xが3の倍数である$ \iff$ S_x = \sum_{k=1}^{n} x_kが3の倍数である
ここで，10進数の整数$ p,qについて，
$ pが$ qの倍数であるとは，$ p = q \times rとなる整数$ rが存在することである．
例1
$ S_{723} = 12，$ S_{12} = 3．3は3の倍数なので723及び12は3の倍数である．
これと同様に
$ n進法で表された数$ x_{(n)}について，
通常の意味での$ n進数の加算$ +_{(n)}および乗算$ \times_{(n)}を定めて，
定理
$ x_{(n)}が$ mの倍数である$ \iff$ S_x = \sum_{k=1}^{l} x_kが$ mの倍数である
が成り立つ自然数の組$ \lang n,m\rangが
$ \lang10,3\rang以外にもあるのか？
あるとは思うがパッとは出てこない
無限に存在するのか？