S5の意味論 - Internet Explorer 2.0

S5の意味論

Memo

$ \bf S5は普遍的なフレームに関して完全．

すなわち任意の$ x,y \in Wに対して$ x R y：全てが全てと関係する．

$ M, x \Vdash \Box \varphi$ \iff任意の$ xRyなる$ yで$ M,y \Vdash \varphi

ここで$ Rは普遍的な場合，「任意の$ x R yである」という条件は自明なので取っ払って良い

すなわち，$ \iff任意の$ w \in Wで$ M,w \Vdash \varphi

同様に，$ Rが普遍的である場合，$ M, x \Vdash \Diamond \varphi$ \iffある$ w \in Wで$ M,w \Vdash \varphi

と考えると$ \bf S5のモデルでは$ Rを考える必要は無く，$ \lang W, V \rangとすればよい．

適当にS5モデルと名称する．

Memo

同じことだが，次の事実からも考えても良い

$ \bf S5のModal Companionが古典命題論理に対応しており，古典命題論理のKripke意味論は単一世界のKripkeフレームとして良い．

Ref

この議論は（特に$ \bf S5の）ハイパーシークエント計算を考えるときに用いられる．

https://www.youtube.com/watch?v=WrVXYaiEyg4