Laplace変換のメモ
時間$ t \ge 0で定義されている実数関数$ f(t)について，$ f(t)のLaplace変換$ \mathcal{L}\left\lbrack f(t) \right\rbrackとは↓で定義される． $ \mathcal{L}\left\lbrack f(t) \right\rbrack = \int^\infin_0 f(t) e^{-st} dt
ただし，$ sは複素数上を走る．
$ F(s) \coloneqq \mathcal{L}\left\lbrack f(t) \right\rbrackと表すことがある．
Def:
時間変数$ x(t)のLaplace変換はLaplace変数$ X(s)という．
$ \mathcal{L}\left\lbrack x(t) \right\rbrack = X(s)
時間変数の時間微分$ \frac{dx(t)}{dt}のLaplace変換
$ \mathcal{L}\left\lbrack \frac{dx(t)}{dt} \right\rbrack = sX(s) - x(0)
時間変数の時間積分$ \int^t_0 x(\tau) d\tauのLaplace変換
$ \mathcal{L}\left\lbrack \int^t_0 x(\tau) d\tau \right\rbrack = \frac{1}{s} X(s)
$ \mathcal{L}\left\lbrack a_1 x_1(t) + \dots + a_k x_k(t) \right\rbrack
$ = a_1 \mathcal{L}\left\lbrack x_1(t) \right\rbrack + \dots + a_k \mathcal{L}\left\lbrack x_k(t) \right\rbrack
$ = a_1 X_1(s) + \dots + a_k X_k(s)
$ F(s) \coloneqq \mathcal{L}\left\lbrack f(t) \right\rbrackに対し，$ F(s)のLaplace逆変換を$ \mathcal{L}^{-1} \left\lbrack F(s) \right\rbrackと表す． Exp: Laplace逆変換の例
$ \mathcal{L}^{-1} \left\lbrack X(s) \right\rbrack = x(t)
$ \mathcal{L}^{-1} \left\lbrack \frac{1}{s-a} \right\rbrack = e^{at}
$ \delta(t) = \begin{cases} 0 & (t \neq 0) \\ \infty & (t = 0) \end{cases}
性質
$ \int^\infty_{-\infty} \delta(t) dt = 1
任意の連続関数$ g(t)に対し$ \int^\infty_{-\infty} g(t) \delta(t) dt = g(0)
$ \mathcal{L}\left\lbrack \delta(t) \right\rbrack = \int^\infty_0 \delta(t) e^{-st} dt = e^0 = 1
$ u_s(t) = \begin{cases} 1 & (t \ge 0) \\ 0 & (t < 0) \end{cases}
性質
$ \mathcal{L}\left\lbrack u_s(t) \right\rbrack = \int^\infty_0 u_s(t) e^{-st} dt = \int^\infty_0 1 \times e^{-st} dt = \left\lbrack - \frac{1}{s}e^{-st} \right\rbrack = \frac{1}{s}