Gödelの第1不完全性定理の対偶
Gödelの第1不完全性定理は大雑把には以下のとおりである．ただし体系が満たすべき条件は一旦ボカす．
ある体系$ \mathscr{S}が無矛盾であり，かつある条件を満たすなら，$ \mathscr{S}には証明も反証も出来ない文が構成できるため，不完全である．
ここで体系の無矛盾性とは，その体系で構成可能な文の中で「証明可能でありかつ反証可能である」と言った文が作れないということを意味する．
すごい大雑把にいえば，$ \mathscr{S}にはホントつき文が構成できないという条件である．
この条件では嘘つき文が構成できるという話である．
雑に記号で表せば．
$ \mathscr{S}ではホントつき文が作れない$ \implies$ \mathscr{S}では嘘つき文が構成できる
↑の形でほとんど直接示せるからだが，あまり下の対偶は聴かない気がする．まああんまり意味がないからだが．
ある体系$ \mathscr{S}が完全であり，かつある条件を満たすなら，$ \mathscr{S}には証明も反証も出来る文が構成できるため，$ \mathscr{S}は矛盾である．