Craigのトリック
主張
再帰的可算理論は再帰的公理化可能である．
すなわち
再帰的可算理論$ Tと同等の再帰的理論$ T'が存在する．
証明
William Craigによる．
W. Craig; "On Axiomatizability Within a System"
Refernces
菊池誠; "不完全性定理"Thm5.5.14
菊池; "不完全性定理", Theorem 5.5.14
関数と集合の再帰性についてのメモ#64b6c37b13a1580000b71681
数学基礎論序論(本)7.2参照．
"数学基礎論序論", Theorem 7.2
Lindström; "Aspects of Incompleteness", Theorem 1.1
帰結
これと合わせて，Gödelの第1不完全性定理またはGödel-Rosserの第1不完全性定理の$ Tの要請を弱めることが出来る．
すなわち，
Robinson算術$ \mathsf{Q}の再帰的公理化可能な拡大理論$ Tが無矛盾なら，$ Tは不完全．
注意: もともとのGödel-Rosserの第1不完全性定理では$ Tは$ \mathsf{Q}の再帰的な拡大理論だった
より詰めていく
実は次のことも同様に示すことが出来る．
再帰的可算理論は原始再帰的公理化可能である．
ref
菊池誠; "不完全性定理"のThm5.5.16
菊池; "不完全性定理", Theorem 5.5.16