0変数論理式の拡張の有限モデル性
主張
Kripke意味論において，$ Lで濾過法できるなら$ \psiを0変数論理式として$ L \cup \{\psi\}でも濾過法出来て，有限モデル性を持つ． proof
$ Lが有限モデル性を持つ：$ L \nvdash \varphiなら有限モデル$ L \vDash Mがあって$ M \nvDash \varphi
今$ L \cup \{\psi\} \nvdash \varphiとする．このとき$ L\nvdash \psi \to \varphi．
したがって有限の反例モデル$ L \vDash Mと点$ x \in Mがあって$ M \vDash \psiかつ$ M,x \nvDash \varphiとなる．
$ Mを$ xで点生成した$ M_xを取り，これを$ L \cup \psiの所望の反例モデルとする．
点生成したモデルでは任意の$ y \in M_xと$ \xiに対し，$ M,y \vDash \xi \iff M_x, y \vDash \xiが任意の成り立つことに注意すれば，$ M_x \vDash L \cup \{\psi\}と$ M_x \nvDash \varphiが成り立つことが仮定より従う．よって良い．❏ メモ：0変数論理式であることを使ってない．この証明はおかしいと思う
注意
$ L \cup \psi \neq L \oplus \psi