三角関数の微分

$ (\sin x)' = \cos x

$ (\cos x)' = -\sin x

$ (\sin x)' = \lim\limits_{h \to 0}\frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}

$ = \lim_{h\to0} \frac{ \sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x }{h}

$ = \lim_{h\to0} \frac{ \sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h }{h}

$ = \lim_{h\to0} \left( \sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h} \right)

ここで、第一項について

$ \frac{\cos h-1}{h}=\frac{(\cos h-1)(\cos h+1)}{h(\cos h+1)}

$ =\frac{\cos^2h-1}{h^2(\cos h+1)}\cdot h

$ =-\frac{\sin^2h}{h^2} \cdot\frac{1}{1+\cos h}\cdot h

$ =0(h\to0)

また、第二項について

$ \frac{\sin h}{h}

$ =1 (h\to0)

よって

$ (\sin x)' = \cos x

$ (\cos x)'=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}

$ =\lim_{h\to0}\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}

$ = \lim_{h\to0} \left( \cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h} - \sin x\cdot\frac{\sin h}{h} \right)

$ =\cos x\cdot0-\sin x\cdot1

$ = -\sin x