ネイピア数 - sigreni

ネイピア数

自然対数の底として用いられる定数。$ eで表される。

オイラーによる定義

Leonhard Eulerは、以下を満たす実数$ aを$ eと定義した。 See: https://ja.wikipedia.org/wiki/ネイピア数

$ \frac{d}{dx}a^x=\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=a^x

すなわち、

$ \lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1

なんかむずかしく見えるけど、要は、

「指数関数$ a^xを微分しても同じ$ a^xになる$ aってなんだろ」

↓

導関数の定義に従って式変換したら、$ \lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}が1になればよさそう！この条件を満たす底を$ e（ネイピア数）としよう！」

みたいなノリ。ちなみにオイラーがこの特別な数を$ eと定義しだしたことから、欧米ではネイピア数ではなく「Euler's number」とも呼ばれるらしい。

ベルヌーイによる定義

ネイピア数という名前こそなかったものの、最初にネイピア数を見出したのはJakob Bernoulliと言われている。

原本を1、年利を100%としたとき、利息を年1回つける場合、半年に1回、3ヶ月に一回とそれぞれ考えてみると、複利の計算は以下のようになる。

年1回: $ \left(1+\frac{1}{1} \right)^1 = 2

半年に一回: $ \left(1+\frac{1}{2}\right)^2 = 2.25

3ヶ月に一回: $ \left(1+\frac{1}{4} \right)^4 = 2.4414...

つまり、同じ年利100%という条件下でも、複利の回数を分割して増やすことでどんどん増えていく。さらに複利の回数を増やして、毎月、毎日、毎時間、毎秒というように無限に増やしていったらどうなるんだ、、？というのを考えると以下のようになる。

$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

この極限は無限大には増えず、のちにネイピア数と呼ばれる定数、$ 2.718281828...に収束していくことを発見した。

オイラーによる定義も式変形でこのベルヌーイの定義にできるから、実質同じものらしい。

オイラーは「微分しても変わらない指数関数の底」として、ベルヌーイは「複利を無限に細かくしていった極限」として、それぞれネイピア数という定数にたどり着いた。