逆関数法の例

球面上の一様分布

以下のような積分を計算したい

$ \int_{S^2} f(\omega) d\omega = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi f(\theta,\phi) \sin\theta d\theta d\phi

$ p(\theta) = \int_0^{2\pi} p(\theta, \phi) d\phi = \frac{\sin\theta}{2}

$ p(\phi) = \int_0^\pi p(\theta, \phi) d\theta = \frac{1}{2 \pi}

累積密度関数は

$ F(\theta) = \int_0^\theta \frac{\sin t}{2} dt = \frac{1 - \cos\theta}{2}

なので、逆関数は

$ \theta = F^{-1}(u) = \arccos (1 - 2 u)

$ \phi = 2\pi v

※別の方法として、単位キューブの中で一様分布^3で点を取得して、単位球の内部なら正規化し、単位球の外なら無視して取り直すという方法もあるらしい。

$ \int_0^{2\pi}\int_{-1}^1 f(\arccos(t), \phi)dt d\phi

$ 4\pi \int_0^{2\pi}\int_{-1}^1 f(\arccos(t), \phi) p(t,\phi) dtd\phi

$ F_N = 4\pi \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{f(\arccos(t_i),\phi_i)}{p(t_i,\phi_i)}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N f(\arccos(t_i),\phi_i) \approx I

半球上のコサイン

レンダリング方程式で使うやつ。

$ p(\theta) = \int_0^{2\pi}p(\theta,\phi)d\phi = 2 \sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta

$ p(\phi) = \frac{1}{2\pi}

なので

$ F(\theta) = \int_0^\theta \sin2t dt = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}

逆関数は

$ \theta = F^{-1}(u) = \frac{1}{2} \arccos(1 - 2u)

$ \phi = 2 \pi v

このとき

$ \cos\theta = \cos(\frac{\arccos(1-2u)}{2}) = \sqrt{\frac{1+ (1-2u)}{2}} = \sqrt{1 -u}

$ \sin\theta = \sqrt{1 - 1+u} = \sqrt{u}

Henyey--Greenstein

$ f(\theta) = \frac{1}{4\pi}\frac{1-g^2}{(1 + g^2 + 2 g \cos\theta)^{3/2}}

文献によって符号が反転してることがあるので気を付ける。

$ \xi = F(\mu) = \int_{-1}^\mu h(t) dt = -\frac{1-g^2}{2g} \left( (1+g^2 + 2g\mu)^{-1/2} - (1-g)^{-1} \right)

を変形して

$ \cos\theta = \mu = - \frac{1}{2g} \left(1 + g^2 - \left(\frac{1-g^2}{1+g - 2g \xi} \right)^2\right)