変分法
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変分法
変分法の歴史
$ xが$ aから少し変化して$ a+\Delta xになったときの$ \Delta xを、独立変数$ xの変分という。
関数$ f(x)が$ f(x)+\Delta fに変化すれば、$ \Delta fを従属変数または関数の変分という。 変分問題
任意の変分$ \Delta xに対して、変分$ \Delta fが$ \Delta f \geq0であれば、$ f(x)は$ x=aで最小となる。
比$ \Delta f/\Delta xの$ \Delta x\to 0の極限は微分$ df/dxとなるから、関数の最大・最小の問題は、微分係数がゼロになる点を求めることに帰着される。 https://gyazo.com/2a41df0c623efd3ecaf23172eb64b71a
連続の極限では、あるパラメータ$ tを用いて、$ xは$ x(t)と表され、$ fは$ x(t)だけでなく、$ x'(t)=dx/dtや$ tも含むようになり、
$ I=\int_{t_0}^{t_1}f(t,x(t),x'(t))dt
のような定積分の最大・最小の問題を考えることになる。 この場合には、求められる解は関数となる。
$ Iは、関数を変数として定まる積分であるから、汎関数と呼ばれる。 https://gyazo.com/44553f7faa94b8cea097fd5ce7db204f
$ x(t)を$ \eta(t)だけ変化させたときの$ Iの変分を、$ \eta(t)の1次まで求めると、部分積分により $ \delta I=\int_{t_0}^{t_1}(f_x\cdot\eta(t)+f_{x'}\cdot\eta'(t))dt
$ =\int_{t_0}^{t_1}\left(f_x-\frac{d}{dt}f_{x'}\right)\eta(t)dt+\left[f_{x'}\eta(t)\right]_{t_0}^{t1}
$ f_x= \partial f/\partial x
$ f_x’= \partial f/\partial x'
となる。境界条件より$ \eta(t_1)=\eta(t_0)=0より、第2項はゼロとなる。
境界条件を満たす任意の変分$ \eta(t)に対して、$ \delta I=0となる条件は
$ \frac{d}{dt}f_{x'}-f_{x}=0
となる。
参考文献