群論:与えられた部分群を包む最小の正規部分群
問題:$ Gを有限群,$ H, Kを$ Gの部分群とし,
$ HK := \{ xy \mid x \in H,~y \in K\},
$ [H,K] := \langle xyx^{-1}y^{-1} \mid x \in H, y \in K \rangle
と定める.以下の問いに答えよ:
(1) $ HKが$ Gの部分群である$ \iff$ HK = KH.
(2) $ H[G,H] は$ Hを包む最小の$ Gの正規部分群である.
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https://youtu.be/90jnH4x7SSg