数学 - rn-works

$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ w' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}

■ベクトル解析

【勾配】$ glad \ \bm{A} = \nabla \bm{A}

【発散】$ div \ \bm{A} = \nabla \cdot \bm{A}

【回転】$ rot \ \bm{A} = \nabla \times \bm{A}

数学 : ベクトル解析

■ノルム

n次元ベクトル $ \vec{x} = (x_1, x_2, x_3, \cdots x_n)

以下を $ L^p ノルムと呼ぶ。 ( $ 1 \leqq p < \infty )

$ ||\vec{x}||_p = \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p + |x_3|^p + \cdots |x_n|^p} = (|x_1|^p + |x_2|^p + |x_3|^p + \cdots |x_n|^p) ^ {1/p}

p = 2 の場合は、これはn次元ベクトルの長さになる。

$ ||\vec{x}||_2 = \sqrt{{x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 + \cdots {x_n}^2} = ({x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2 + \cdots {x_n}^2) ^ {1/2}

https://mathtrain.jp/lpnorm

p = 2, n = 3の場合、 3次元ベクトルの長さになります。

$ ||\vec{x}||_2 = \sqrt{{x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2}

■Houdini上でL2ノルムを実装してみる

座標のL2ノルムを計算してみます。

code:L2ノルムの計算

float x1 = @P.x;

float x2 = @P.y;

float x3 = @P.z;

// L2ノルムの計算

float l = sqrt(x1 * x1 + x2 * x2 + x3 * x3);

len関数を使うと、もっとシンプルに書けます。

code:L2ノルムの計算

float x1 = @P.x;

float x2 = @P.y;

float x3 = @P.z;

float l = len({x1, x2, x3});

Houdiniのlen関数はベクトルの長さを計算する関数ですが、ベクトルのL2ノルムを計算する関数とも言えそうです。

範囲変換

$ x_{min} 以上$ x_{max} 以下に含まれている $ x を $ 0 以上$ 1 以下の範囲に変換する計算式は以下のようになる

$ \frac{x-x_{min}}{ x_{max} - x_{min}}

数学 : 範囲変換

軸対称な関数

関数$ f(x) , $ g(x) が $ f(x) + g(x) = 1 を満たす時、 $ y = f(x) と y = g(x) \ は y = 0.5 を軸として対象な形をしている

数学 : 軸対称な関数

https://gyazo.com/778b63229a208cdfc1705a58d2635827

その他

LaTexの数式で使用されているフォント : Latin Modern