数学 : 内積(ドット積)
ベクトルの内積(Dot Product)
ベクトル $ \vec{A} , $ \vec{B} のなす角を$ \theta 、$ \vec{A} の長さを $ |A| , $ \vec{B} の長さを $ |B| とおくと、以下が成り立つ。
$ \vec{A}・\vec{B} = |A|・|B|・cos \theta
内積(2次元)
ベクトル$ \vec{A} = \binom{x_1}{y_1}, \vec{B} = \binom{x_2}{y_2}の内積$ \vec{A}・\vec{B}は以下のように計算できる。
$ \vec{A}・\vec{B} = \binom{x_1}{y_1}・\binom{x_2}{y_2} = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}
例) ベクトル(1, 2), (3, 4)の内積を計算してみる
(1, 2)・(3, 4) = 1・3 + 2・4 = 3 + 8 = 11
内積(3次元)
ベクトル$ \vec{A} = \begin{pmatrix} {x_1} \\\ {y_1} \\\ {z_1} \end{pmatrix}, \vec{B} = \begin{pmatrix} {x_2} \\\ {y_2} \\\ {z_2} \end{pmatrix}の内積$ \vec{A} \cdot \vec{B}は以下のように計算できる。
$ \vec{A} \cdot \vec{B} = \begin{pmatrix} {x_1} \\\ {y_1} \\\ {z_1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} {x_2} \\\ {y_2} \\\ {z_2} \end{pmatrix} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2
内積の使用例 : 3Dリアルタイムレンダリング
３Ｄリアルタイムレンダリングにおいてベクトルの内積の性質を知っていることがどれだけ重要かについて解説する
内積を使用すると、面と光がなす角度を求めることができる
内積の使用例 : パーリンノイズ
1. 勾配ベクトルの値を計算
2. 距離ベクトルの値を計算
3. 勾配ベクトルと距離ベクトルの内積の値を計算
4. サンプル値の位置をフェード関数を使って調整
5. 計算した内積からフェード関数で調節されたサンプル値の位置の内積値を線形補間で求める
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