統計検定2級チートシート

確率変数の期待値と分散

$ E[X]= \sum_{i=1}^{n}x_ip_i = \sum_{x}xf(x) (離散)

$ E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx (連続)

$ V[X] = \sum_x (x-\mu)^2f(x) (離散) = $ \int_{\infty}^{\infty}(x-\mu)^2f(x)dx (連続)

$ V[X] = E[X^2] - (E[X])^2

2つの確率変数

共分散: X の偏差 * Y の偏差の平均

$ Cov(X, Y) = \sum_{i}^{n}\frac{(x_i-\mu x)(y_i - \mu y)}{n}

$ Cov(X, Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]

$ Cov(X,Y)= E[XY]- E[X]E[Y]

相関係数

共分散 / 標準偏差の積

$ r_{xy} = \frac{Cov[X,Y]}{\sqrt{V[X]V[Y]}} = \frac{Cov[X, Y]}{\sigma_x \sigma_y}

正規分布の線形変換

$ E[aX+b] = aE[X]+b 平均はそのまま

$ V[aX+b]= a^2V[X] 分散は差の項がなくなるのもわかる

$ S[aX+b]=\sqrt{a^2V[X]}=|a|S[X] 係数が絶対値に

から

$ Cov[aX+b, cY+d] = acCov[X,Y] (偏差で切片は消える)

$ r[aX+b, cY+d] = \frac{ac}{|ac|}r[X, Y]

確率変数同士

$ V[X \pm Y] = V[X] + V[Y] ... 独立の場合、足す

$ V[X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X,Y] ... 独立でない場合、共分散*2 だけ増減

$ V[X-Y] = V[X] + V[Y] - 2Cov[X,Y]

$ Cov(X, X) = V(X) 自身との共分散は分散

$ Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y,Z) 分配法則

チェビシェフの不等式

$ P(|X-\mu| \ge k\sigma) \le 1/k^2 ... どんな確率分布でも成立する

事象・ベイズ周り

独立なら成り立つ

$ P(A \cap B) = P(A)P(B)

$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)

ベイズの定理

$ P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}

$ P(A \cap B) = P(A|B)P(B)

分布

t分布

F分布

指標・グラフ読み系

算数

乗数の操作

$ \sqrt[3]{2} = 2^{1/3}

$ (\sqrt[3]{2})^{3} = (2^{1/3})^{3} = 2

$ \frac{4/3}{\sqrt{2/3}} = \frac{2(2/3)^1}{(2/3)^{1/2}} = 2(2/3)^1(2/3)^{-1/2} = 2(2/3)^{1/2} = 2\sqrt{2/3}

順列・組合せ

$ _nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}

$ _nC_r = \frac{_nP_r}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

$ _nC_r = _nC_{n-r}

定積分

$ \int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{0}^{b}f(x)dx - \int_{0}^{a}f(x)dx