箙 - pogi-log

箙

箙(えびら、英: quiver)

箙(えびら)そのもの意味は下記

矢を入れて肩や腰に掛け、携帯する容器のこと。矢筒。「やなぐい」とも読む

グラフ理論での箙は、多重辺と自己ループ辺を許す有向グラフ

箙$ Q は以下の4つの対象の組からなる

頂点集合: $ Q_0

矢集合: $ Q_1

写像: $ s: Q_1 \to Q_0

矢の始点(start, source)が得られる写像

写像: $ t: Q_1 \to Q_0

矢の終点(target)が得られる写像

$ Q_0 の元は頂点

$ Q_1 の元は矢、または辺

多分定義すると使いにくいそうだけど、もう少し具体的に書くと矢は$ (v, w) \quad (v,w \in Q_0) のような組で、$ Q_1 は以下のようになるはず

$ Q_1 = \lbrace (v, w) | v,w \in Q_0\rbrace

$ s(a) は始点

$ t(a) は終点

$ Q_0, Q_1, s, t から以下のような組の箙が定義される

$ Q = (Q_0, Q_1, s, t)

箙$ Q から道を定義する

$ (y|a_n,...,a_1|x) := (y, a_n,...,a_1,x)

$ (\in Q_0 \times Q_1 \times \cdots \times Q_1 \times Q_0)

道の定義を具体的なグラフを使ってどんなものかを見る。

以下のようなグラフがあった場合

code:mermaid

flowchart LR

1-->|a|2

2-->|b|3

1-->|c|3

1-->|d|1

3-->|e|1

1→2→3の道は(3 | b, a | 1 )

1→3→1の道は(1 | e, c | 1)

1→2→3→1の道は(1 | e, b, a | 1)

1→1→1の道は(1 | d, d | 1)

関係付き箙というものを用いると圏が定義できる

関係付き箙による圏の定義

code:mermaid

flowchart LR

1 -->|a|2 -->|b| 3 -->|c| 4

n = 0

{1||1}, {2||2}, {3||3}, {4||4}

n = 1

{2| a |1}, {3| b |2}, {4| c |3}

n = 2

{3| b, a |1}, {4| c, b |2}

n = 3

{4| c, b, a |1}

$ \mathbb{P}Q

確認用

Q. 箙

Q. 道