『実数の構成に関するノート』

目次

1 はじめに 2

1.1 実数の公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1 切断による実数の構成（定義） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 実数の順序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 実数の加減 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 正の実数に乗法を入れる . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 正の実数に除法を入れる . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 実数に乗法と除法を入れる . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7 デデキントの定理：実数の連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8 上限と下限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 実数の構成ふたたび（有理数の完備化による） 22

3.2 コーシー列による実数の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 実数の四則演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 実数の順序（大小）と絶対値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5 実数における極限の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.6 コーシー列の収束証明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.7 実数の連続性（上限の存在） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

∗九州大学 2006, 2007 年春学期「数学 II」「微分積分学・同演習 A」への補足

4 実数の２つの構成法の同等性 44

4.1 ２つの構成法の同等性（正確な表現） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 写像 S の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 写像 T の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 T = S−1，つまり２つの構成の同等性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 実数の一意性 53

5.1 主定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 「整数」と「有理数」の部分の対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 実数（無理数）の対応 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4 対応（写像 S, T ）の一意性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6 文献案内など 61

メモ

有理数の切断

末尾の参考文献について

code:memo

Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed. (McGrow-Hill, 1976)